فایل ورد کامل پایان‌نامه تخصصی درباره حل عددی معادلات غیرخطی همزمان؛ تحلیل روش‌ها و الگوریتم‌های محاسباتی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 فایل ورد کامل پایان‌نامه تخصصی درباره حل عددی معادلات غیرخطی همزمان؛ تحلیل روش‌ها و الگوریتم‌های محاسباتی دارای ۹۱ صفحه می باشد و دارای تنظیمات و فهرست کامل در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد فایل ورد کامل پایان‌نامه تخصصی درباره حل عددی معادلات غیرخطی همزمان؛ تحلیل روش‌ها و الگوریتم‌های محاسباتی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : توضیحات زیر بخشی از متن اصلی می باشد که بدون قالب و فرمت بندی کپی شده است

بخشی از فهرست مطالب فایل ورد کامل پایان‌نامه تخصصی درباره حل عددی معادلات غیرخطی همزمان؛ تحلیل روش‌ها و الگوریتم‌های محاسباتی

فصل اول: کلیات پژوهش
۱-۱- مقدمه  
۱-۲- بیان مسأله  
۱-۳- پیشینه  
۱-۴- اهداف  
۱-۵- مروری بر پایان¬نامه  
فصل دوم: حل دستگاه معادلات خطی
۲-۱- مقدمه  
۲-۲- روش¬های حل دستگاه معادلات خطی  
۲-۲-۱- استفاده از معکوس ماتریس  
۲-۲-۲- روش کرامر  
۲-۲-۳- روش حذفی گاوس  
۲-۲-۴- روش تجزیه LU  
۲-۲-۵- روش تجزیه LDV  
۲-۲-۶- روش تجزیه چولسکی  
۲-۲-۷- روش تکراری ژاکوبی  
۲-۲-۸- روش گاوس سیدل  
فصل سوم: معادلات غیرخطی
۳-۱-مقدمه  
۳-۲- مرتبه یک ریشه  
۳-۳- مرتبه همگرایی  
۳-۴- روش¬های عددی برای حل معادلات غیرخطی تک متغیره  
۳-۴-۱- روش تنصیف  
۳-۴-۲- روش نابجایی  
۳-۴-۳- روش نیوتن رافسون  
۳-۴-۵- روش وتری  
۳-۴-۶- روش تکرار ساده  
۳-۴-۷- روش ایتکن  
۳-۴-۸- روش استفنسن  
۳-۵- حل دستگاه دو معادله دو مجهولی غیرخطی با روش نیوتن رافسون  
۳-۶- دستگاه معادلات غیرخطی چند متغیره  
۳-۶-۱- روش نیوتن  
۳-۶-۱-۱- ضعف روش نیوتن  
۳-۶-۱-۲- الگوریتم روش نیوتن  
۳-۷- روش هموتوپی  
۳-۸- مسأله تداوم  
۳-۹- همگرایی هموتوپی  
۳-۱۰- روش نقطه ثابت برای توابع چند متغیره  
فصل چهارم: روش پیشنهادی
۴-۱- مقدمه  
۴-۲- روش نیوتن رافسون  
۴-۳- روش پیشنهادی  
۴-۴- محاسبه یک نقطه شروع مناسب  
فصل پنجم: نتیجه¬گیری  
پیوست¬ها  
فهرست منابع  

بخشی از فهرست مطالب فایل ورد کامل پایان‌نامه تخصصی درباره حل عددی معادلات غیرخطی همزمان؛ تحلیل روش‌ها و الگوریتم‌های محاسباتی

[۱] J.M. Scheurle, Newton iterations without inverting the derivative, Math. Meth. Appl. Sci. (1979)

[۲] L.K. Schubert, Modi®cations of a quasi-Newton method for nonlinear equations with a sparse Jacobian, Math. Comput. 25 (1970)

[۳] G.G. Broyden, A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations, Math. Comput. 19 (1965)

[۴] B. Carnahan, A.H. Luther, J.O. Wilkes, Applied Numerical Methods, Wiley, New York,

[۵] W.R. Paterson, On preferring iteration in a transformed variable to the method of successive substitution, Chem. Eng. Sci. 41 (1986)

[۶] S.D. Conte, C. de Boor, Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach, McGraw-Hill, New York,

[۷] N. Kockler, Numerical Methods and Scienti®c Computing, Clarendon Press, Oxford,

[۸] M.Daehlen, A. Tveito, Numerical Methods and Software Tools in Industrial Mathematics, Birkhauser, Boston,

[۹] Y. Jaluria, Computer Methods for Engineering, Taylor & Francis, Washington,

[۱۰] W. H. Press, Solution of Nonlinear Equations, Com S 477/577, Oct 7,

[۱۱] K. WRIGHT, Numerical Solution of Differential Equations for the Analytic Singular Value Decomposition, Computing Science Department, University of Newcastle-upon-Tyne, Newcastle-upon-Tyne,

[۱۲] Crina Grosan and Ajith Abraham, Senior Member, IEEE, A New Approach for Solving Nonlinear Equations Systems, IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS—PART A: SYSTEMS AND HUMANS, VOL. 38, NO. 3, MAY

[۱۳] Chi Chun-Mei, A Few Numerical Methods for Solving Nonlinear Equations, International Mathematical Forum, 3,

[۱۴] O.Taiwo, The solution of simultaneous nonlinear equations by the single variable Newton-Raphson method, NSChE J. 8 (1989)

چکیده

با توجه به اینکه معادلات جبری و غیر­جبری غیر­خطی نقش بسزایی در علوم مهندسی دارند، بنابراین بررسی موضوعاتی در رابطه با آنها از اهمیت ویژه­ای برخوردار می­باشد. اغلب کارهای انجام شده در این راستا با استفاده از تغییراتی در روش نیوتن-رافسون، استفاده از روش­های تکرار و الگوریتم­های بهینه­سازی حاصل شده است. در اکثر مقالاتی که اخیراً ارائه شده، در مورد بهینه­سازی روش نیوتن که هدف کاهش تعداد توابع مورد­نیاز است بحث شده است و نتایج آزمایشات عددی مختلفی حاصل شده است

روش پیشنهادی برای حل عددی معادلات غیرخطی همزمان، بوسیله روش تکراری حاصل از دستگاه خطی پارامتری همراه با یک معادله تک متغیره غیرخطی بدست می­آید این روش جدید به سرعت همگرا شده و برای مواردی که دستگاه معادلات را بتوان براحتی از یکدیگر متمایز کرد ایده­آل می­باشد، این روش از روش نیوتن – رافسون ناشی شده و همگرایی آن تقریباً از مرتبه دوم است

علاوه­بر­این روش پیشنهادی در پیدا کردن یک نقطه شروع مناسب برای معادلات غیرخطی همزمان نیز مورد استفاده قرار گرفته است. پیدا کردن نقطه شروع یا محاسبه کردن نقطه شروع برای دستگاه­هایی که هیچ اطلاع اولیه­ای در مورد راه حل­های ممکن ندارد بسیار مفید است

فصل اول: کلیات پژوهش

۱-۱- مقدمه

  با توجه به اینکه معادلات جبری و غیرجبری غیرخطی نقش بسزایی در علوم مهندسی دارند بنابراین بررسی موضوعات مربوط به آنها نقش بسزایی می­تواند در این راستا داشته باشد. این موضوعات در کنترل سیستم و آنالیز پایداری (نقطه تعادل) مسائل بهینه­سازی از اهمیت ویژه­ای برخوردار می­باشند. این معادلات اکثراً نمی­توانند بطور تحلیلی حل شوند، بنابراین به راه­حل­های عددی متوسل می­شوند در واقع هیچ نظریه کلی برای حل آنها وجود ندارد. برخی روشهای موجود و کارهای انجام شده برای دست یافتن به این امر با اعمال تغییراتی در روش نیوتن–رافسون، روشهای تکرار و الگوریتم­های بهینه­سازی استفاده می­کنند

روش پیشنهادی تقریباً شبیه روشن نیوتن- رافسون چند متغیره است. روش نیوتن- رافسون چند متغیره روشی بسیار جالب می­باشد، زیرا همگرایی آن از درجه دوم است. نقطه اصلی آن تمایل به واگرایی هنگامی که نقطه شروع یا حدس اولیه نزدیک به جواب واقعی نباشد، است. علاوه­براین اگر ریشه تکرار از مراتب بالا باشد مثل ، باز هم ممکن است واگرا شود. بهرحال تعیین نقطه شروع آن آسان نیست. محدوده مقادیر در این روش از ماهیت مسأله مشخص می­شود

روش پیشنهادی چنانچه نشان خواهیم داد، یک روش کلی برای محاسبه نقطه شروع اولیه برای معادلات غیرخطی همزمان[۱] می­باشد. این روش نیاز ما را به حدس اولیه رفع می­کند چه در جاهایی که ممکن است همگرا شود یا واگرا و چه در توابعی که ممکن است تعریف نشده باشد

۲-۱- بیان مسئله

در این رساله یک روش جدید برای حل عددی معادلات غیر­خطی همزمان ارائه شده است. این امر به وسیله راه­حل تکراری حاصل از دستگاه خطی پارامتری همراه با یک معادله تک متغیره غیر­خطی به دست می­آید. این روش جدید به سرعت همگرا شده و برای مواردی که دستگاه معادلات را بتوان به راحتی از یکدیگر متمایز کرد، ایده­ال است. این روش از روش نیوتن-رافسون ناشی شده و همگرایی آن از مرتبه دوم است. علاوه ­بر ­این روش پیشنهادی در محاسبه نقطه شروع در معادلات غیر خطی همزمان مورد استفاده قرار گرفته است. پیدا کردن نقطه شروع برای سیستم­هایی که هیچگونه اطلاعات اولیه­ای در مورد راه­حل­های ممکن ندارند بسیار سودمند است

۳-۱- پیشینه

در سال­های اخیر حل معادلات غیرخطی همزمان در دو قسمت مجزا ولی مکمل هم مورد بررسی قرار گرفته­اند. در قسمت اول تغییرات متنوعی از روش نیوتن مورد استفاده قرار گرفته که باعث کاهش مقدار محاسبات در بدست آوردن ماتریس ژاکوبی و حل معادلات خطی ناشی از آن شده است. نمونه­هایی از این تغییرات که منجر به بهبود روش نیوتن شده توسط آقای براون(Brown) در سال ۱۹۶۶ ارائه شده است. در این کار ارزایابی­های موثری در محاسبه ماتریس ژاکوبی انجام شده که منجر به کاهش محاسبات مورد نیاز برای بدست آوردن ماتریس ژاکوبی شده است. اکثر بهبودهایی که در روش نیوتن انجام شده است براساس استفاده از تقریب ماتریس ژاکوبی معکوس و بهبود دادن ماتریس تکرار در هر مرحله است. با تقریب ماتریس ژاکوبی از حل معادلات خطی همزمان در هر مرحله اجتناب می­شود. روش­هایی که از تقریب ماتریس معکوس ژاکوبی استفاده کرده­اند کها گاهی اوقات نیز به این روش­ها روش­های  quasi-newton گفته می­شود به صورت کامل توسط آقای(Broyden) در سال۱۹۶۷ بررسی شده است. در قسمت دوم اکثر راه­حل­ها برای حل معادلات غیرخطی همزمان بر اساس ایده آقای Davidenko در سال۱۹۵۳ارائه شده است. در این ایده نیز راه­حل­هایی برای کاهش محاسبات در بدست آوردن ماتریس ژاکوبی بیان شده است

۴-۱- اهداف

در واقع روش پیشنهادی از روش نیوتن رافسون ناشی شده که هدف، تسربع همگرایی است. علاوه بر این یک روش کلی برای محاسبه نقطه شروع اولیه برای معادلات غیرخطی همزمان معرفی می­کند. روش پیشنهادی می­تواند برنامه­ریزی شده و به وسیله سایر روش­های عددی برای حل معادلات غیرخطی همزمان مورد استفاده قرار گیرد. روش پیشنهادی می­تواند برای دامنه وسیعی از سیستم­های بزرگ که در آنها هیچگونه اطلاعات قبلی در مورد راه­حل­های ممکن وجود ندارد، بسیار ارزشمند باشد

۵-۱- مروری بر پایان­­نامه

در فصل دوم روشهای حل دستگاه معادلات خطی تشریح شده و با مثال­هایی مورد بررسی قرار گرفته  است. این روش­ها در حالت کلی به ۲ دسته تقسیم می­شوند، که عبارتند از روش­های مستقیم و روش­های تکراری که بصورت مفصل بحث خواهند شد

در فصل سوم حل معادلات غیرخطی تک متغیره و چند متغیره مورد بررسی قرار خواهد گرفت. روش پیشنهادی ما که مبتنی بر معادلات غیرخطی چند متغیره است در فصل چهارم تشریح شده و در فصل ۵ نتیجه­گیری کلی در مورد این رساله بیان خواهد شد. در این رساله مقاله “A new method for the numerical solution ofsimultaneous nonlinear equations” بسط داده شده است

فصل دوم:  حل دستگاه معادلات خطی

۱-۲- مقدمه

مجموعه‌های مشتمل بر بیش از یک معادله خطّی را دستگاه معادلات خطّی می‌گویند. در حل مسائل عددی گاهی با مسایلی روبرو می­شویم که حل آنها منجر به حل یک دستگاه معادلات می­گردد. برای حل دستگاه­های معادلات خطی روش­های متفاوتی وجود دارد که در ادامه به تفصیل مورد بررسی قرار خواهند گرفت. دستگاه­های معادلات خطی اغلب برای پیشگویی، اقتصاد و; به کار میروند. معمولاً هدف از حل کردن یک دستگاه معادلات خطی، پیدا کردن محل تقاطع دو خط می­باشد و منظور از حل دستگاه، به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادله­ها برقرار باشند

۲-۲- روش­های حل دستگاه معادلات خطی

روش­های حل دستگاه در حالت کلی به صورت زیر دسته­بندی می­­شوند که عبارتند از

روشهای مستقیم شامل

تجزیه LL^T

تجزیه LDV

تجزیه LU

استفاده از روش حذفی گاوس

استفاده از روش کرامر

استفاده از معکوس ماتریس

روشهای تکراری

روشهای ژاکوبی

روشهای تکراری گاوس سیدل

روشهای تکراری SOR

فرم جبری دستگاه معادلات خطی در حالت کلی مطابق معادله (۱-۲) می­باشد

 (۱-۲)

که فرم ماتریس آن به فرم زیر خواهد بود

تعریف ۱: دستگاه Ax=b0 را دستگاه معادلات خطی غیرهمگن گویند و شرط داشتن جواب منحصر به فرد آن است که ۰|A| (اگر=۰|A|  آن گاه دستگاه بی شمار جواب دارد یا جواب ندارد)

تعریف ۲: دستگاه Ax=0 را دستگاه معادلات همگن می­گویند. شرط لازم برای اینکه جواب غیر بدیهی ( غیرصفر) داشته باشیم آن است که =۰|A| ( اگر ۰|A| آن گاه فقط جواب x=0 را داریم). یکی از روشهای حل دستگاه Ax=b استفاده از معکوس ماتریس است، هرگاه ۰|A| آنگاه معکوس A موجود است و اگر از سمت چپ طرفین معادله را به A^–۱ ضرب کنیم طبق رابطه (۲-۲) خواهیم داشت

(۲-۲)

اشکال این روش آن است که اگر ابعاد ماتریس بزرگ باشد آن گاه یافتن معکوس ماتریس پرهزینه و زمانبر خواهد بود

۱-۲-۲- استفاده از معکوس ماتریس

روش­های زیادی برای یافتن معکوس ماتریس وجود دارد که در حالت کلی عبارتند از

استفاده از فرمول (۱)

(۱)

همانطور که می­دانیم ترانهاده ماتریس همسازه (adj(A)) ماتریس الحاقی می­باشد

استفاده از اعمال سطری مقدماتی

در این روش A و I را در نظر می­گیریم، سپس با اعمال سطری مقدماتی روی A آنرا به I تبدیل می­کنیم و همزمان همان اعمال سطری مقدماتی را روی I انجام می­دهیم. زمانی که A به I تبدیل می­شود، I نیز به A^-۱ تبدیل خواهد شد

استفاده از حل دستگاه

فرض کنید A^-۱=B باشد و لذا باید داشته باشیم AB=I که B مجهول است. فرض کنید B=[b_۱,b_۲,… , b_n] که در واقع b_۱ ستونهای ماتریس B بوده و مجهول­اند، پس طبق رابطه (۳-۲) خواهیم داشت

A= [b_۱, b2, …, bn] =[e_۱,e_۲,… , e_n],

[Ab_۱, Ab_۲ , …, Ab_n]= [e_۱,e_۲,… , e_n],

Ab_۱= e_۱,

Ab_۲= e_۲,                                                                                                                                                                                                 (۳-۲)

Ab_n= e_n

در رابطه (۳-۲) e_iها ستونهای I بوده و Ab_i ها هر کدام یک دستگاه می باشد که از حل هر یک ستون B حاصل می­شود و در نهایت B یعنی A^-۱ حاصل خواهد شد

۲-۲-۲- روش کرامر

روش کرامر برای حل دستگاه مذکور در معادله (۱-۲) که در آن ۰|A| می­باشد بر اساس رابطه (۴-۲) می­باشد

(۴-۲)

اشکال این روش آن است که اگر ابعاد ماتریس بزرگ باشد یافتن دترمینان ماتریس پر هزینه خواهد بود

قضیه ۱: دستگاه Ax=b که در آن A مربعی n×n و ۰|A| است را داریم، دستور کرامر را برای این دستگاه بیان و ثابت می­کنیم

اثبات: فرض کنید  باشد که در آن a_iها ستونهای ماتریس A می­باشند. دستور کرامر بصورت  و j=1, … , n که در آن A_j  ماتریسی است حاصل از A که به جای ستون jام بردار قرار گرفته است. چون ۰|A|، پس A معکوس­پذیر است و لذا از Ax=b خواهیم داشت .x=A^-۱b از طرفی   که adj(A)، ماتریس الحاقی A است پس طبق رابطه (۵-۲) داریم

(۵-۲)

حال از رابطه  و طبق رابطه (۶-۲) خواهیم داشت

(۶-۲)

از رابطه (۶-۲) داریم

از طرفی طبق رابطه (۷-۲) داریم

(۷-۲)

اگر دترمینان A_j را به صورت زیر حساب کنیم همان جمله موجود در صورت رابطه (۶-۲) حاصل می­شود

پس طبق رابطه (۸-۲) داریم

(۸-۲)

۳-۲-۲- روش حذفی گاوس برای حل دستگاه Ax=b

در این روش ابتدا ماتریس افزوده یعنی [A ; b] را به صورت زیر در نظر می­گیریم، سپس با اعمال سطری مقدماتی قطر اصلی A را به صفر تبدیل می­کنیم و دستگاه را حل می­کنیم

برای اینکه قسمت زیرین قطر اصلی به صفر تبدیل شود بصورت زیر عمل می­کنیم

گام اول: اگر a_۱۱۰ باشد، در اینصورت سطر اول را به ( – ) و (i=2 , … , n )ضرب کرده و با سطرهای دوم تا n جمع می­کنیم، بنابراین خواهیم داشت

گام دوم: اگر a_۲۲=۰ باشد آنگاه با ضرب سطر دوم در ( – ) و جمع آن با سطرهای سوم تا nام خواهیم داشت

با ادامه این روند همواره بعد از (n-1) مرحله خواهیم داشت

پس دستگاه نهایتاٌ به صورت زیر تبدیل خواهد شد که در آن از معادله آخر x_n و از معادله اول x_۱ حاصل می شود

اشکالات روش حذفی گاوس

۱-  simultaneous nonlinear equation