فایل ورد کامل مقاله کاربرد روش تقریب L1 در معادلات انتگرال تکین؛ تحلیل علمی رویکردهای عددی و چالش‌های محاسباتی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 فایل ورد کامل مقاله کاربرد روش تقریب L1 در معادلات انتگرال تکین؛ تحلیل علمی رویکردهای عددی و چالش‌های محاسباتی دارای ۲۴ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد فایل ورد کامل مقاله کاربرد روش تقریب L1 در معادلات انتگرال تکین؛ تحلیل علمی رویکردهای عددی و چالش‌های محاسباتی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی فایل ورد کامل مقاله کاربرد روش تقریب L1 در معادلات انتگرال تکین؛ تحلیل علمی رویکردهای عددی و چالش‌های محاسباتی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن فایل ورد کامل مقاله کاربرد روش تقریب L1 در معادلات انتگرال تکین؛ تحلیل علمی رویکردهای عددی و چالش‌های محاسباتی :

کاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تکین

۱- مقدمه: معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل کرد. در این متن فن کلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم. علاوه برامتیازات دیگر، این روش به طور موفقیت آمیزی در مورد معادلات انتگرال تکین و همین طور معادلات انتگرال قویاً تکین (نظیر انتگرال های آدامار یا متناهی – قسمت) تعمیم داده شده و به کار رفته است. در بحث حاضر، مروری بر این مطالعه ارائه می‌شود.

۲- مقدمات ریاضی :

به طور کلی هدف این متن عبارت است از کاربرد فن LP- تقریب در حل یک معادله انتگرال فردهولم (خطی یا غیر خطی) نوع اول یا دوم به صورت

در معادله بالا تابع هدایتگر و هسته K توابعی معلوم اند، در حالی که تابع مجهول است که باید آن را بیابیم پارامتر نیز معلوم است. مساله کلی LP- تقریب پیوسته را می‌توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:
تابع f معین روی یک بازه حقیقی مانند x همراه با یک تابع تقریب مانند F(A)، که به متغیر n پارامتری A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در این صورت مساله LP- تقریب پیوسته به این معنی است که باید برداری مانند به گونه ای بیابیم که به ازای هر رابطه :

برقرار باشد.
جنبه اصلی مساله که باید مورد بحث واقع شود فرمول بندی مجدد مساله معادله انتگرال به صورت یک مساله LP- تقریب است. برای این منظور، فرض کنیم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، که ممکن است خطی یا غیر خطی باشد، تقریب زد. اگر این تقریب را در معادله انتگرال بگذاریم، رابطه زیر به دست می‌آید:

در آن صورت مساله تقریب را می‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:

بیان کرد که در آن F(A,x) نسبت به A روی Rn و نسبت به x روی [a,b] تعریف شده است. توجه داشته باشید که می‌توان عبارت

را تابعی مانند تلقی کنیم که فقط به A بستگی دارد. پس می‌توان مسأله تقریب را به عنوان یک مسأله مینیمم سازی غیر مقید وابسته به n متغیر an,;,a1 در نظر گرفت. بنابراین، J فقط باید نسبت به این متغیرها مینیمم شود. در نتیجه، با حل مسأله مینیمم سازی بالا امکان حل تقریبی معادله انتگرال وجود دارد.
برای مطالعه درباره جزئیات این فن (و از جمله آنالیز ریاضی) مراجع [۱۹] , [۱۸] تالیف De Klerk را ببینید.
در این مرحله دو تفسیرزیر ضروری اند:

مقادیر مخلتف P را می‌توان مورد استفاده قرار داد. برای مثال به ازای P=1 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین قدر مطلق و به ازای P=2 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین مربعات. دلیلی وجودندارد که مقادیر مثبت دیگر P را در نظر نگیریم. حالت P=2 را بیشتر می شناسیم، در حالی که حالت P=1 کمتر آشناست. بنابراین احساس می‌شد که این حالت باید حاوی چالش های عددی جالبی (در رابطه با قدر مطلقی که در انتگرالده ایجاد می شود) باشد. توجه داشته باشید که خطی یا غیر خطی بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگی به تابع تقریب F(A) و هسته K دارد. در روش عددی ای که در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرد تمایز خاصی بین خطی یا غیر خطی بودن قائل نمی‌شویم.

۳- شیوه عددی و مثال ها :
فن عددی در اصل از دو شیوه عددی تشکیل شده است، یعنی شیوه مینیمم سازی و شیوه انتگرال گیری.
مینیمم سازی با استفاده ازیک الگوریتم استاندارد بهینه سازی انجام می‌گیرد. الگوریتم UMPOL در IMSL Library که بر پایه روش «سیمپلکس داون هیل» از نلدر و مید (به مثال [۳۷] تالیف Press مراجعه کنید)، که گر چه زیاد سریع نیست اما این مزیت را دارد که بسیار قوی است و به مشتق گیری ها نیازی ندارد. در واقع ماشین سر به زیری است که معمولاً مقدار مینیمم یک تابع را به درستی می‌یابد . همچنین
De Klerk در [۲۰] متذکر شده است که روش لووس- جاکولا [۳۴] نیز روشی قوی است که به مشتق گیری ها نیازی ندارد و بررسی بیشتر جواب هایی که با بهره گیری ازاین روش بدست می آیند را مفید دانسته است.
انتگرال گیری عددی با استفاده از فن کوادراتور اتوماتیکی که ونتر و لاوری [۳] با یک انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام می‌شود. برای بدست آوردن این شیوه این محققین رویه انتگرال گیری تطبیقی استاندارد QAGE را تغییر داده اند (از QUAD PACK تالیف [۳۵] Piessens ). در حین فرایند انتگرال گیری، با استفاده ازمقادیر موجود برای تابع، صفرهای تابع پیدا می‌شوند که از آنها (صفرهای تابع) به عنوان نقاط تقسیم در انتگرال گیری استفاده می‌کنیم.
در [۲۰] ذکر شده است که ونتر ولاوری این روش را با موفقیت بالایی امتحان کرده اند، همچنین در پایان نامه دکتری ونتر نیز از بکارگیری این روش نتایج خوبی بدست آمده است [۸].
De Klerk در [۱۸] نتایج رضایت بخشی را با استفاده از این استراتژی تقریب بدست آورده است.
بر خلاف بسیاری روش های دیگر، با استفاده از روشی تقریبی نظیر روش یاد شده،‌ در ساختن

جواب نیز آزادی عمل بیشتری داریم (مثلا می توان توابع گویا و توابع مثلثاتی را بکار برد).
با اینکه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب یک تابع تقریب لازم است اما این امر موجب کنار گذاردن روش مذکور نمی شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال های زیر، برخی از نتایج اصلی سال های گذشته را به بحث می‌گذارد.
مثال (۱- ) پارامتر به سمت یکی از مقادیر ویژه مسأله میل می‌کند.
هسته جدایی پذیر زیر را در نظر بگیرید، داریم :

که در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطی هستند.
در این حالت معادله انتگرال فردهولم به طور کلی یک و فقط یک جواب دارد. تنها استثنا وقتی است که یکی از مقادیر ویژه هسته را به خود می‌گیرد که در این حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد کارایی فن مذکور را نشان می‌دهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زیررا در نظر بگیرید.

مجموعه

در نتیجه باید پارامترهای a0, .., a3 را به گونه ای محاسبه کنیم، که

مینیمم شود.
مقادیر ویژه این مسأله (تا شش رقم اعشار) عبارتند از:
-۱۲۹۲۸۲۰۳ و ۰۹۲۸۲۰۳
با استفاده از روش L1- تقریب و متمایل شدن به سمت ۰۹۲۸ نتایج زیر بدست می آیند.
محاسبه شده عددی y(x), محاسبه شده تحلیلی y(x),
۰.۰۰۰۰+۱.۰۰۰۰x
۱.۶۰۶۰+۲.۸۰۳۰x
۵.۸۱۱۶+۱۱.۰۲۵۱x
۲۰.۶۵۸۸+۳۶.۷۳۹۸x
۸۴۴.۷۷۳۶+۱۴۶۴.۱۴۸۰x x
۱.۰۶۰۶+۲.۸۰۳۰x
۵.۸۱۲۰+۱۱.۰۲۵۶x
۲۰.۶۵۷۳+۳۶.۷۳۷۱x
۸۴۴.۶۹۷۰+۱۴۶۴.۰۱۵۱x 0.3333

۰۸
۰۹
۰۹۲
۰۹۲۸
بنابراین الگوریتم، جواب این مسأله را حتی در حالتی که فقط به اندازه با یکی از مقادیر ویژه تفاوت داشته باشد، بدست می آورد. اکنون روش حل تحلیلی معادله انتگرال فردهولم نوع دوم ( با هسته تباهیده) فوق را بیان می‌کنیم.

از این معادله داریم:

مقادیر ثابت های معلوم را بدست می آوریم.
مقادیر فوق را در دستگاه قرار می‌دهیم. داریم

اگر
بنابراین مقادیر ویژه عبارتند از:
-۱۲۹۲۸۲۰۳۲۳ = و ۰۹۲۸۲۰۳۲۳۰۲ = .

مثال (۲- ) معادله انتگرال با یک تکینی نوع کوشی در هسته
در این حالت معادله انتگرال (Cuminato [9])

به ازای مورد نظر است و انتگرال به معنای مقدار اصلی تعریف شده است.
معادله انتگرال با فرض برقراری شرط اضافی دارای جواب است.
در مورد این مثال تقریبی که برمی گزینیم گویا است (یعنی غیر خطی). جواب را می‌توان با یک تابع با قطب های ساده نمایش داد، در نتیجه جوابی عددی در نزدیکی نقاط تکین جواب تحلیلی بدست آورده ایم. تابع تقریب را به صورت تابع گویای زیر در نظر می گیریم

این تابع N=m+n+1 ضریب دارد و نخست تابع باقیمانده زیر را در نظر می گیریم

بامحاسبه انتگرال به شکل تحلیلی، و در نظر گرفتن حالتی که m=n=2 ، به تابع باقیمانده می رسیم

با:

اگر b-a=1 ، می‌توان به نتیجه جالبی رسید. می‌توان نشان داد (De Klerk[19]) که دنباله به طور یکنوا صعودی است- درحقیقت . بنابراین برای تعیین ضرایب، A، در بازه ای به طول یک، با بهره گیری از تبدیل ، متغیر را بر متغیر می نگاریم. در این صورت مسأله LP- تقریب به

تبدیل می‌شود. با محاسبه مقدار مینیمم مسأله تقریب بالا بهترین نتایج در LP- نرم به ازای مقادیر مختلف P و به ازای انتخاب فوق برای تابع تقریب در جدول (الف) و (ب) داده شده است.

P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
-۰.۰۱۵۹۰۱
۰.۴۹۹۹۶۰
۰.۰۰۹۶۶۳
۰.۰۰۰۱۹۹
-۰.۹۵۲۵۵۹ ۰.۰۰۰۱۳۲
۰.۴۵۷۶۱۲
-۰.۰۰۰۰۹۰
-۰.۰۰۰۰۰۲
-۰.۹۶۱۷۰۷ -۰.۰۰۰۰۰۲
۰.۴۰۵۳۹۷
۰.۰۰۰۰۰۱
۰.۰۰۰۰۰۰
-۰.۹۶۸۴۷۵ -۰.۰۵۷۶۶۶
۰.۳۷۴۳۳۱
۰.۰۴۳۴۸۲
۰.۰۰۰۶۸۲
-۰.۹۷۱۵۲۵ -۰.۰۱۲۶۱۹
۰.۳۶۶۵۹۳
۰.۰۰۹۵۸۶
۰.۰۰۰۱۴۴

-۰۹۷۱۷۹۶

جدول (الف): ضرایب تابع تقریب را محاسبه کرده است.
P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
۰.۰۵۷۰۹۱ ۰.۰۹۰۱۴۰ ۰.۱۳۸۴۶۲ ۰.۱۷۴۵۰۷ ۰.۱۸۹۳۴۲

جدول (ب): مینیمم LP- نرم تابع باقیمانده را محاسبه کرده است.
مثال (۳- ) معادله انتگرال با یک تکینی قوی در هسته
کاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تکین

۱- مقدمه: معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل کرد. در این متن فن کلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم. علاوه برامتیازات دیگر، این روش به طور موفقیت آمیزی در مورد معادلات انتگرال تکین و همین طور معادلات انتگرال قویاً تکین (نظیر انتگرال های آدامار یا متناهی – قسمت) تعمیم داده شده و به کار رفته است. در بحث حاضر، مروری بر این مطالعه ارائه می‌شود.

۲- مقدمات ریاضی :
به طور کلی هدف این متن عبارت است از کاربرد فن LP- تقریب در حل یک معادله انتگرال فردهولم (خطی یا غیر خطی) نوع اول یا دوم به صورت

در معادله بالا تابع هدایتگر و هسته K توابعی معلوم اند، در حالی که تابع مجهول است که باید آن را بیابیم پارامتر نیز معلوم است. مساله کلی LP- تقریب پیوسته را می‌توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:
تابع f معین روی یک بازه حقیقی مانند x همراه با یک تابع تقریب مانند F(A)، که به متغیر n پارامتری A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در این صورت مساله LP- تقریب پیوسته به این معنی است که باید برداری مانند به گونه ای بیابیم که به ازای هر رابطه :

برقرار باشد.
جنبه اصلی مساله که باید مورد بحث واقع شود فرمول بندی مجدد مساله معادله انتگرال به صورت یک مساله LP- تقریب است. برای این منظور، فرض کنیم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، که ممکن است خطی یا غیر خطی باشد، تقریب زد. اگر این تقریب را در معادله انتگرال بگذاریم، رابطه زیر به دست می‌آید:
در آن صورت مساله تقریب را می‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:

بیان کرد که در آن F(A,x) نسبت به A روی Rn و نسبت به x روی [a,b] تعریف شده است. توجه داشته باشید که می‌توان عبارت

را تابعی مانند تلقی کنیم که فقط به A بستگی دارد. پس می‌توان مسأله تقریب را به عنوان یک مسأله مینیمم سازی غیر مقید وابسته به n متغیر an,;,a1 در نظر گرفت. بنابراین، J فقط باید نسبت به این متغیرها مینیمم شود. در نتیجه، با حل مسأله مینیمم سازی بالا امکان حل تقریبی معادله انتگرال وجود دارد.
برای مطالعه درباره جزئیات این فن (و از جمله آنالیز ریاضی) مراجع [۱۹] , [۱۸] تالیف De Klerk را ببینید.
در این مرحله دو تفسیرزیر ضروری اند:
مقادیر مخلتف P را می‌توان مورد استفاده قرار داد. برای مثال به ازای P=1 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین قدر مطلق و به ازای P=2 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین مربعات. دلیلی وجودندارد که مقادیر مثبت دیگر P را در نظر نگیریم. حالت P=2 را بیشتر می شناسیم، در حالی که حالت P=1 کمتر آشناست. بنابراین احساس می‌شد که این حالت باید حاوی چالش های عددی جالبی (در رابطه با قدر مطلقی که در انتگرالده ایجاد می شود) باشد. توجه داشته باشید که خطی یا غیر خطی بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگی به تابع تقریب F(A) و هسته K دارد. در روش عددی ای که در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرد تمایز خاصی بین خطی یا غیر خطی بودن قائل نمی‌شویم.

۳- شیوه عددی و مثال ها :
فن عددی در اصل از دو شیوه عددی تشکیل شده است، یعنی شیوه مینیمم سازی و شیوه انتگرال گیری.
مینیمم سازی با استفاده ازیک الگوریتم استاندارد بهینه سازی انجام می‌گیرد. الگوریتم UMPOL در IMSL Library که بر پایه روش «سیمپلکس داون هیل» از نلدر و مید (به مثال [۳۷] تالیف Press مراجعه کنید)، که گر چه زیاد سریع نیست اما این مزیت را دارد که بسیار قوی است و به مشتق گیری ها نیازی ندارد. در واقع ماشین سر به زیری است که معمولاً مقدار مینیمم یک تابع را به درستی می‌یابد . همچنین
De Klerk در [۲۰] متذکر شده است که روش لووس- جاکولا [۳۴] نیز روشی قوی است که به مشتق گیری ها نیازی ندارد و بررسی بیشتر جواب هایی که با بهره گیری ازاین روش بدست می آیند را مفید دانسته است.
انتگرال گیری عددی با استفاده از فن کوادراتور اتوماتیکی که ونتر و لاوری [۳] با یک انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام می‌شود. برای بدست آوردن این شیوه این محققین رویه انتگرال گیری تطبیقی استاندارد QAGE را تغییر داده اند (از QUAD PACK تالیف [۳۵] Piessens ). در حین فرایند انتگرال گیری، با استفاده ازمقادیر موجود برای تابع، صفرهای تابع پیدا می‌شوند که از آنها (صفرهای تابع) به عنوان نقاط تقسیم در انتگرال گیری استفاده می‌کنیم.
در [۲۰] ذکر شده است که ونتر ولاوری این روش را با موفقیت بالایی امتحان کرده اند، همچنین در پایان نامه دکتری ونتر نیز از بکارگیری این روش نتایج خوبی بدست آمده است [۸].

De Klerk در [۱۸] نتایج رضایت بخشی را با استفاده از این استراتژی تقریب بدست آورده است.
بر خلاف بسیاری روش های دیگر، با استفاده از روشی تقریبی نظیر روش یاد شده،‌ در ساختن جواب نیز آزادی عمل بیشتری داریم (مثلا می توان توابع گویا و توابع مثلثاتی را بکار برد).
با اینکه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب یک تابع تقریب لازم است اما این امر موجب کنار گذاردن روش مذکور نمی شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال های زیر، برخی از نتایج اصلی سال های گذشته را به بحث می‌گذارد.
مثال (۱- ) پارامتر به سمت یکی از مقادیر ویژه مسأله میل می‌کند.
هسته جدایی پذیر زیر را در نظر بگیرید، داریم :

که در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطی هستند.
در این حالت معادله انتگرال فردهولم به طور کلی یک و فقط یک جواب دارد. تنها استثنا وقتی است که یکی از مقادیر ویژه هسته را به خود می‌گیرد که در این حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد کارایی فن مذکور را نشان می‌دهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زیررا در نظر بگیرید.

مجموعه

در نتیجه باید پارامترهای a0, .., a3 را به گونه ای محاسبه کنیم، که

مینیمم شود.
مقادیر ویژه این مسأله (تا شش رقم اعشار) عبارتند از:
-۱۲۹۲۸۲۰۳ و ۰۹۲۸۲۰۳
با استفاده از روش L1- تقریب و متمایل شدن به سمت ۰۹۲۸ نتایج زیر بدست می آیند.
محاسبه شده عددی y(x), محاسبه شده تحلیلی y(x),
۰.۰۰۰۰+۱.۰۰۰۰x
۱.۶۰۶۰+۲.۸۰۳۰x
۵.۸۱۱۶+۱۱.۰۲۵۱x
۲۰.۶۵۸۸+۳۶.۷۳۹۸x
۸۴۴.۷۷۳۶+۱۴۶۴.۱۴۸۰x x
۱.۰۶۰۶+۲.۸۰۳۰x
۵.۸۱۲۰+۱۱.۰۲۵۶x
۲۰.۶۵۷۳+۳۶.۷۳۷۱x
۸۴۴.۶۹۷۰+۱۴۶۴.۰۱۵۱x 0.3333
۰.۸

۰۹
۰۹۲۸
بنابراین الگوریتم، جواب این مسأله را حتی در حالتی که فقط به اندازه با یکی از مقادیر ویژه تفاوت داشته باشد، بدست می آورد. اکنون روش حل تحلیلی معادله انتگرال فردهولم نوع دوم ( با هسته تباهیده) فوق را بیان می‌کنیم.

از این معادله داریم:

مقادیر ثابت های معلوم را بدست می آوریم.
مقادیر فوق را در دستگاه قرار می‌دهیم. داریم

اگر
بنابراین مقادیر ویژه عبارتند از:
-۱۲۹۲۸۲۰۳۲۳ = و ۰۹۲۸۲۰۳۲۳۰۲ = .

مثال (۲- ) معادله انتگرال با یک تکینی نوع کوشی در هسته
در این حالت معادله انتگرال (Cuminato [9])

به ازای مورد نظر است و انتگرال به معنای مقدار اصلی تعریف شده است.
معادله انتگرال با فرض برقراری شرط اضافی دارای جواب است.
در مورد این مثال تقریبی که برمی گزینیم گویا است (یعنی غیر خطی). جواب را می‌توان با یک تابع با قطب های ساده نمایش داد، در نتیجه جوابی عددی در نزدیکی نقاط تکین جواب تحلیلی بدست آورده ایم. تابع تقریب را به صورت تابع گویای زیر در نظر می گیریم

این تابع N=m+n+1 ضریب دارد و نخست تابع باقیمانده زیر را در نظر می گیریم

بامحاسبه انتگرال به شکل تحلیلی، و در نظر گرفتن حالتی که m=n=2 ، به تابع باقیمانده می رسیم

با:

اگر b-a=1 ، می‌توان به نتیجه جالبی رسید. می‌توان نشان داد (De Klerk[19]) که دنباله به طور یکنوا صعودی است- درحقیقت . بنابراین برای تعیین ضرایب، A، در بازه ای به طول یک، با بهره گیری از تبدیل ، متغیر را بر متغیر می نگاریم. در این صورت مسأله LP- تقریب به

تبدیل می‌شود. با محاسبه مقدار مینیمم مسأله تقریب بالا بهترین نتایج در LP- نرم به ازای مقادیر مختلف P و به ازای انتخاب فوق برای تابع تقریب در جدول (الف) و (ب) داده شده است.

P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
-۰.۰۱۵۹۰۱
۰.۴۹۹۹۶۰
۰.۰۰۹۶۶۳
۰.۰۰۰۱۹۹
-۰.۹۵۲۵۵۹ ۰.۰۰۰۱۳۲
۰.۴۵۷۶۱۲
-۰.۰۰۰۰۹۰
-۰.۰۰۰۰۰۲
-۰.۹۶۱۷۰۷ -۰.۰۰۰۰۰۲
۰.۴۰۵۳۹۷
۰.۰۰۰۰۰۱
۰.۰۰۰۰۰۰
-۰.۹۶۸۴۷۵ -۰.۰۵۷۶۶۶
۰.۳۷۴۳۳۱
۰.۰۴۳۴۸۲
۰.۰۰۰۶۸۲
-۰.۹۷۱۵۲۵ -۰.۰۱۲۶۱۹
۰.۳۶۶۵۹۳
۰.۰۰۹۵۸۶
۰.۰۰۰۱۴۴
-۰.۹۷۱۷۹۶

جدول (الف): ضرایب تابع تقریب را محاسبه کرده است.
P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
۰.۰۵۷۰۹۱ ۰.۰۹۰۱۴۰ ۰.۱۳۸۴۶۲ ۰.۱۷۴۵۰۷ ۰.۱۸۹۳۴۲

جدول (ب): مینیمم LP- نرم تابع باقیمانده را محاسبه کرده است.
مثال (۳- ) معادله انتگرال با یک تکینی قوی در هسته