فایل ورد کامل مقاله ریاضی کاربردی؛ تحلیل علمی مدل‌های محاسباتی، کاربردهای مهندسی و نقش آن در حل مسائل واقعی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 فایل ورد کامل مقاله ریاضی کاربردی؛ تحلیل علمی مدل‌های محاسباتی، کاربردهای مهندسی و نقش آن در حل مسائل واقعی دارای ۳۰۷ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد فایل ورد کامل مقاله ریاضی کاربردی؛ تحلیل علمی مدل‌های محاسباتی، کاربردهای مهندسی و نقش آن در حل مسائل واقعی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی فایل ورد کامل مقاله ریاضی کاربردی؛ تحلیل علمی مدل‌های محاسباتی، کاربردهای مهندسی و نقش آن در حل مسائل واقعی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن فایل ورد کامل مقاله ریاضی کاربردی؛ تحلیل علمی مدل‌های محاسباتی، کاربردهای مهندسی و نقش آن در حل مسائل واقعی :

ریاضی کاربردی

ـ فرض کنید تحقیقی در مورد گروهی از مریض‌ها انجام می‌شود، به طوری که احتیاج به یک رژیم غذایی دارند که بایستی حداقل ۲۰۰۰ کالری و حداقل ۶۰۰ واحد ویتامین D مورد لزوم از دو خوراک I و II کسب شود. هر واحد از خوراک I دارای ۴۰ کالری و ۸ واحد ویتامین D است و هر واحد از خوراک II دارای ۲۰ کالری و ۱۲ واحد ویتامین D است در ضمن هزینه هر واحد خوراک I برابر ۴ تومان و هزینه هر واحد خوراک II برابر ۵ تومان می‌باشد. مسئله را به صورت یک برنامه‌ریزی خطی مدل‌بندی نمایید به طوری که ضمن کسب حداقل کالری و ویتامین D مورد لزوم مقدار هزینه مینیمم شود.
حل. تعریف می‌کنیم:

تعداد واحد خوراک نوع I که فرد خریداری می‌کند برای
اطلاعات مسئله را می‌توانیم به صورت یکی از جدولهای زیر خلاصه نماییم:

حداقل مورد نیاز خوراک I خوراک II
۲۰۰۰ ۲۰ ۴ کالری
۶۰۰ ۱۲ ۸ ویتامین D
۵ ۴ هزینه

هزینه هر واحد ویتامین D کالری
۴ ۸ ۴ X1تعداد واحد خوراک I
۵ ۱۲ ۲۰ X2 تعداد واحد خوراک II
۶۰۰ ۲۰۰۰ حداقل مورد نیاز

با استفاده از هر کدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زیر قابل بیان است:

ـ در یک کارگاه بشقاب‌سازی بشقاب در دو اندازه کوچک و بزرگ ساخته می‌شود برای ساخت یک بشقاب کوچک، یک دسیمتر مربع ورق استیل ۵/۱ نفر ساعت کار مورد نیاز است. در صورتی که برای ساخت یک بشقاب بزرگ دو دسیمتر مربع ورق استیل و ۳ نفر کار مورد نیاز است. فروش هر بشقاب کوچک ۳۰ تومان و فروش هر بشقاب بزرگ ۵۰ تومان سود دارد. اگر در هفته ۴۰۰ دسیمتر مربع ورق استیل و ۵۰۰ نفر ساعت نیروی انسانی در اختیار داشته باشیم و هر تعداد بشقاب از هر نوع که تولید شود به فروش برسد یک مدل ریاضی برای مسئله بنویسید که تعیین کند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد تولید می‌شود تا ضمن رعایت محدودیتهای منابع، سود حاصل از تولید ماکزیمم شود.
حل. تعریف می‌کنیم:

تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع کوچک: x1
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع بزرگ: x2
مقدار در دسترس بزرگ کوچک
۴۰۰ ۲ ۱ ورق استیل
۵۰۰ ۳ ۵/۱ نیروی انسانی
۵۰ ۳۰ سود

ـ در کارخانه‌ای دو نوع کالا تولید می‌شود. برای تولید هر واحد از نو

ع اول، ۳ ساعت زمان و برای تولید هر واحد از نوع دوم، ۲ ساعت زمان لازم است. کارخانه در ۲۴ ساعت شبانه‌روز کار می‌کند و از طرفی ماده اولیه برای تولید حداکثر ۱۰ واحد کالا از هر نوع داریم. هرگاه سود کالای نوع اول ۴۰۰ تومان و سود کالای نوع دوم ۳۰۰ تومان برای هر واحد باشد. از هر کالا چه تعدادی در شبانه روز تولید کنیم تا سود حاصل ماکزیمم شود. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می‌کنیم:
تعداد کالای نوع i برای

ـ یک کارخانه تولیدی ۵ ماشین رنگ‌کاری و یک ماشین پرس دارد. این ماشینها برای ساخت دو نوع محصول I و II به کار گرفته می‌شوند. با ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II، یک محصول جدید به نام III‌ به دست می‌آید. میزان به‌کارگیری هر کدام از این ماشینها برای محصولات I و II در جدول زیر داده شده است.

مدت زمان مورد نیاز (دقیقه)
برای هر واحد
رنگ‌کاری پرس محصول
۲۰
۱۵ ۳
۵ I

II

چگونگی تقسیم کار روی ماشین‌ها را تعیین کنید به طوریکه در مدت ۸ ساعت کار، تعداد محصولات نهایی III ماکزیمم گردد. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می‌کنیم:
تعداد محصولات نوع I: x1

تعداد محصولات نوع II: x2
چون هر واحد از III از ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II ساخته می‌شود بنابراین III به اندازه می‌تواند تولید شود که بایستی این مقدار را ماکزیمم نماییم.

ـ چهار فرآورده به طور متوالی روی دو ماشین پردازش می‌شوند. مدت زمان برای پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روی دو ماشین (بر حسب ساعت) در جدول زیر داده شده است:

زمان برای هر واحد (ساعت)
ماشین فرآورده ۱ فرآورده ۲ فرآورده ۳ فراورده ۴
۱ ۲ ۳ ۴ ۲
۲ ۳ ۲ ۱ ۲

هزینه کل تولید یک واحد از هر فرآورده مستقیماً با زمان مورد استفاده از ماشین متناسب می‌باشد. فرض کنید هزینه هر ساعت استفاده از ماشین‌های ۱ و ۲ به ترتیب برابر ۱۰ و ۱۵ تومان باشد. کل زمان در نظر گرفته شده برای تمام فرآورده‌ها روی ماشین‌های ۱ و ۲ برابر ۵۰۰ و ۳۰۰ ساعت است. اگر بهای فروش هر واحد از فرآورده‌های ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به ترتیب برابر ۶۵، ۷۰، ۵۵ و ۴۵ تومان باشد، برای بیشینه ساختن سود خالص کل، یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می‌کنیم:

میزان تولید فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام برای

ـ تولید کننده‌ای سه مدل (I، II و III) از فرآورده معینی را تولید می‌کند. او از دو نوع ماده خام (A و B ) که از آنها به ترتیب ۲۰۰۰ و ۳۰۰۰ واحد در دسترس دارد استفاده می‌نماید. مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از سه مدل در زیر داده شده‌اند.

مقدار لازم برای هر واحد از مدل داده شده
ماده خام I II III
A 2 3 5
B 4 2 7

زمان کار مورد نیاز برای هر واحد از مدل I دو برابر زمان کار مدل II و سه برابر زمان کار مدل III می‌باشد. تمام نیروی کار کارخانه می‌تواند معادل ۷۰۰ واحد از مدل I تولید کند برآوردی از بازار نشان می‌دهد که کمینه تقاضا برای سه مدل به ترتیب ۲۰۰ و ۲۰۰ و ۱۵۰ واحد می‌باشد با وجود این نسبتهای تعداد واحد تولید شده باید به نسبت ۵: ۲: ۳ باشند. فرض کنید که سود هر واحد از مدلها به ترتیب برابر با ۳۰ و ۲۰ و ۵۰ تومان باشد. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید تا بتوانید تعداد تولید واحدهایی از هر فرآورده را که سود کل را بهینه می‌سازد به دست آورید.
حل. تعریف می‌کنیم:

میزان تولید محصول مدل نوع I برای

توجه داشته باشید که مجموع نسبتهای داده شده برابر ۱۰ است که متغیرهای اول تا سوم به ترتیب نسبتهای ۳، ۲ و ۵ از آن را به خود نسبت می‌دهند. لذا، مثلاً برای محصول نوع I داریم:

به همین نحو برای محصولهای دوم و سوم یک رابطه مشابه وجود دارد.

ـ فرض کنید مقدار خوراک مورد نیاز در یک مرغداری ۱۰۰ کیلوگرم در روز باشد. غذای ویژه باید شامل موارد زیر باشد:
۱) کلسیم، حداقل ۸/۰ درصد و حداکثر ۲/۱ درصد
۲) پروتئین، حداقل ۲۲ درصد
۳) الیاف خام، حداکثر ۵ درصد
فرض کنید که اجزای ترکیبی مواد غذایی که مورد استفاده قرار می‌گیرند، عبارتند از سنگ آهک، ذرت و آرد سویا. محتوای غذایی این اجزای ترکیبی در جدول زیر داده شده‌اند.
جزء ترکیبی کلسیم پروتئین الیاف خام هزینه هر کیلو
سنگ آهک ۳۸/۰ ۰ ۰ ۴/۱۶
ذرت ۰۰۱/۰ ۰۹/۰ ۰۲/۰ ۳/۸۶
آرد سویا ۰۰۱/۰ ۵/۰ ۰۸/۰ ۱۲۵

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید به طوری که مشخص کند از هر جزء ترکیبی چه مقدار در بسته غذایی استفاده گردد تا ماده غذایی مورد نظر با حداقل هزینه تهیه شود، ضمن اینکه احتیاجات غذایی مورد نظر نیز برآورده گردد.
حل. تعریف می‌کنیم:
مقدار سنگ آهک مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x1

مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x2
مقدار آرد سویا مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x3
بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی به صورت زیر خواهد بود:

ـ برای کنترل کیفیت حداقل ۲۵۰۰ واحد از یک کالا در مدت ۷ ساعت قرار است از تعدادی بازرس از دو گروه A و B استفاده شود. یک بازرس گروه A در هر ساعت ۲۵ عدد کالا را با دقت ۹۷ درصد کنترل می‌کند و هزینه بازرسی در هر ساعت ۴۰۰ تومان است. ی

ر ساعت ۳۵۰ تومان است. برای هر واحد کالا که ناقص باشد و از زیر دست بازرسان خارج گردد کارخانه باید ۲۰۰ تومان جریمه بپردازد. با فرض آنکه از بازرسیهای گروه A حداکثر ۱۰ نفر و از بازرسهای گروه B حداکثر ۱۱ نفر در دسترس هستند، معین کنید که از هر کدام از بازرسها چه تعدادی به خدمت گرفته شوند تا ضمن مینیمم کردن هزینه پرداختی، کارخانه به هدف مطلوب برسد. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می کنیم:
تعداد بازرسانی که از گروه A‌ به خدمت گرفته می‌شوند: x1
تعداد بازرسانی که از گروه B به خدمت گرفته می‌شوند: x2
هزینه در این مسئله عبارت است از:

هزینه جریمه + هزینه ساعتی هر بازرسی
هزینه کارخانه برای یک ساعت از بازرس گروه A عبارت است از:

به طور مشابه هزینه کارخانه برای یک ساعت از بازرس گروه B‌ عبارت است از:

بنابراین مدل مسئله عبارت است از:

ـ شرکتی سه محصول شیمیایی تولید می‌کند. برای این که محصولی به تولید برسد، می‌بایست از چهار مرحله تولیدی عبور کند. جدول زیر زمان مورد نیاز هر محصول جهت مرحله‌های مختلف و ظرفیت زمانی هر مرحله را بر حسب دقیق در روز نشان می‌دهد. چنانچه حداقل تقاضا برای هر محصول به ترتیب ۵۰، ۸۰ و ۷۰ واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتیب ۳، ۲، ۵ باشد، به منظور حداکثر کردن سود کل تولیدات این شرکت، مسئله را به شکل یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید تا معین کند از هر محصول چه تعدادی تولید شود.
ظرفیت زمانی محصول ۳ محصول ۲ محصول ۱ پروسه
۴۳۰ ۱ ۲ ۱ ۱
۴۶۰ ۲ – ۳ ۲
۴۲۰ – ۴ ۱ ۳
۴۴۰ ۴ ۳ ۵ ۴

حل.
ابتدا می‌بایست متغیرهای تصمیم را تعریف نماییم. در اینجا می‌خواهیم بدانیم از هر محصول چقدر باید تولید کنیم. لذا متغیرهای تصمیم به شکل زیر تعریف می‌گردند:
X1= تعداد تولید محصول ۱

X2= تعداد تولید محصول ۲
X3= تعداد تولید محصول ۳
و یا به طور خلاصه می‌نویسیم:
Xj= میزان (مقدار) تولید از محصول j برای
حال با این تعریف تابع هدف ما چنین خواهد بود:

که دراینجا z معرف سود کل شرکت می‌باشد.
برای ظرفیت زمانی چهار پروسه تولیدی، چهار محدودیت زیر را خواهیم داشت:

برای هر محصول، یک محدودیت حداقل تقاضا وجود دارد لذا خواهیم داشت:

نهایتاً چون مقدار منفی برای متغیرهای ما بی‌مفهوم است داریم:

(البته باید توجه داشت که در این مسئله، محدودیتهای حداقل تقاضا، ضرورت نوشتن وضعیت متغیرها یعنی را رفع می‌نماید.)
لازم به توضیح است که چون xj معرف تعداد تولید محصولی خاص است لذا شرط صحیح بودن برای متغیرهای تصمیم نیز بایستی در نظر گرفته شود. اما معمولاً به جز در مسائلی که شرط صحیح بودن الزامی است از نوشتن این شرط صرف‌نظر می‌شود و در عمل اگر پس از حل مسئله و تعیین جوابی که بهترین مقدار را به تابع هدف می‌دهد مقدار متغیری مثلاً به صورت x=3.5 محصول در یک دوره زمانی است، آن را به صورت x=35 محصول در ده دوره زمانی تعبیر می‌نماییم.
نکته: سعی کنید در مسائلی که فرموله می‌کنید نکات زیر رعایت گردند.

۱ بین تابع هدف و محدودیتهای از یکی از کلمات «به طوری که»، «تحت شرایط»، «با قیود»، «مشروط به این که»، «Subject to» یا به طور خلاصه «S. t.» استفاده نمایید.
۲ متغیرها را به شکل مرتب در تابع هدف و محدودیتها، زیر هم بنویسید.
۳ در محدودیت‌ها، متغیرها در سمت چپ نامساوی و مقادیر ثابت در سمت راست نامساوی قرار بگیرند.
۴ هر محدودیت صرفاً دارای یک علامت مساوی یا نامساوی ( و ) باشد.

ـ چهار محصول به طور متوالی به وسیله دو ماشین ساخته می‌شوند. زمان تولید برای ساخت هر محصول در هر ماشین بر حسب ساعت در جدول زیر مشخص شده است:
زمان برای تولید هر واحد (ساعت) ماشین
محصول ۴ محصول ۳ محصول ۲ محصول ۱
۲ ۴ ۳ ۲ ۱
۲ ۱ ۲ ۳ ۲

کل هزینه تولید هر واحد محصول بر اساس زمانی است که ماشین برای تولید آن مصرف می‌کند. فرض کنید که هزینه هر ساعت کار ماشین ۱ و ۲ به ترتیب ۱۰ و ۱۵ واحد پول قراردادی است. کل ساعاتی که برای تولید تمام محصولات روی ماشینهای ۱ و ۲ در نظر گرفته شده است ۵۰۰ و ۳۸۰ ساعت می‌باشد. اگر قیمت فروش هر واحد محصول ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به ترتیب ۶۵ و ۷۰ و ۵۵ و ۴۵ واحد پول قراردادی باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی که کل سود را ماکزیمم سازد فرموله کنید.
حل. قبل از هر عملی اطلاعات داده شده برای مسئله را در جدول زیر خلاصه می‌کنیم:
ظرفیت موجود محصول ماشین هزینه هرساعت کار ماشین

۴ ۳ ۲ ۱
۵۰۰ ۲ ۴ ۳ ۲ ۱ ۱۰
۳۸۰ ۲ ۱ ۲ ۳ ۲ ۱۵
۴۵ ۵۵ ۷۰ ۶۵ قیمت فروش هر واحد محصول
۵- ۰ ۱۰ ۰ سود خالص هر واحد محصول

در این جدول برای محاسبه سود خالص هر واحد محصول، هزینه کل تولید را از قیمت فروش آن کسر کرده‌ایم به عنوان نمونه هزینه تولید محصول ۱ با ۲ ساعت کار ماشین ۱، ۲۰(=۱۰*۲) و با ۳ ساعت کار ماشین ۲، ۴۵ (=۱۵*۳) و به عبارتی ۶۵ (=۴۵+۲۰) واحد پول برابر می‌باشد و چون قیمت فروش آن نیز ۶۵ واحد است لذا سود خالص آن صفر خواهد بود.
متغیر تصمیم این مسئله چنین خواهد بود:
xjمقدار تولید از محصول j برای
بنابراین داریم:
تابع هدف (حداکثر کردن سود خالص)

محدودیت ظرفیت موجود ماشین ۱

محدودیت ظرفیت موجود ماشین ۲

محدودیت غیرمنفی بودن تولیدات

ـ یک کارخانه کلاه‌سازی دو نوع کلاه تولید می‌کند. ساخت هر واحد کلاه نوع ۱، به اندازه دو برابر کلاه نوع ۲، نیروی انسانی لازم دارد. اگر تمام کلاه‌ها فقط از نوع ۲ باشند، کارخانه می‌تواند جمعاً ۵۰۰ کلاه در روز تولید کند. حداکثر تقاضای روزانه برای کلاه‌های نوع ۱ و ۲ به ترتیب ۱۵۰ و ۲۵۰ کلاه است. فرض کنید که سود هر کلاه نوع ۱ و ۲ به ترتیب ۸ و ۵ واحد پول قراردادی است. به منظور ماکزیمم کردن سود معلوم کنید که از هر یک از کلاه‌های نوع ۱ و ۲ چند عدد باید تولید گردد. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.

حل. ابتدا خلاصه اطلاعات مسئله را در جدول زیر می‌آوریم.
کلاه نوع ۱ کلاه نوع ۲
حداکثر تقاضا ۱۵۰ ۲۵۰ ظرفیت موجود
نیروی انسانی m2 m m500
سود خالص هر کلاه ۸ ۵

در اینجا اگر نیروی انسانی لازم برای کلاه نوع ۲ را m فرض کنیم، این میزان برای کلاه نوع ۱ برابر m2 بوده و ظرفیت موجود کارخانه در این راستا، m500 در روز برآورد می‌گردد.
متغیرهای تصمیم این مسئله چنین تعریف می‌گردند:
تعداد کلاه تولید شده از نوع j :
با هدف حداکثر کردن سود داریم:

برای محدودیت نیروی انسانی پس از حذف پارامتر m از طرفین نامعادله خواهیم داشت:

محدودیتهای حداکثر تقاضا چنین می‌باشند:

چون مقدار منفی برای تولیدات مفهومی ندارد خواهیم داشت:

ـ یک کارخانه می‌تواند سه مدل ۱ و ۲ و ۳ از محصولی را تولید کند. این کارخانه دو نوع ماده خام A و B مصرف می‌کند که از آنها به ترتیب ۲۰۰۰ و ۳۰۰۰ واحد در دسترس است. مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از مدلهای ۱ و ۲ و ۳ در جدول ذیل نشان داده شده است:
مواد خام مورد نیاز مدلهای مواد خام
۳ ۲ ۱

۵ ۳ ۲ A
۷ ۲ ۴ B

نیروی انسانی لازم برای هر واحد از مدل ۱ به اندازه دو برابر مدل ۲ و سه برابر مدل ۳ است. کل نیروی انسانی که کارخانه می‌تواند در اختیار داشته باشد معادل تولید ۷۰۰ واحد از مدل ۱ است. قسمت بازاریابی اعلام کرده است که حداقل تقاضا برای سه مدل به ترتیب ۲۰۰ و ۲۰۰ و ۱۵۰ واحد است. لیکن نسبت تعداد محصولهای تولید شده باید به صورت ۳: ۲: ۵ باشد. فرض کنید که سود هر واحد از مدلهای ۱ و ۲ و ۳ به ترتیب ۳۰ و ۲۰ و ۵۰ واحد پول قراردادی است. به منظور تعیین تعدادی که از هر مدل باید تولید گردد تا سود کل ماکزیمم نماید مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.
حل. خلاصه اطلاعات مسئله و متغیر تصمیم‌گیری به شرح ذیل خواهد بود:

ظرفیت موجود محصولات تولیدی مدل
۳ ۲ ۱
۵ ۲ ۳ نسبت تولیدات
۱۵۰ ۲۰۰ ۲۰۰ حداقل تقاضا
۲۰۰۰ ۵ ۳ ۲ ماده خام A
۳۰۰۰ ۷ ۲ ۴ ماده خام B

m700 3/m 2/m m نیروی انسانی
۵۰ ۲۰ ۳۰ سود هر واحد محصول

برای j=1, 2, 3 متغیر xj را به صورت تعداد تولید مدل نوع j تعریف می‌کنیم، بنابراین مشابه مسئله قبل به فرموله کردن مسئله می‌پردازیم:

محدودیت موجودی ماده خام A
محدودیت موجودی ماده خام B
محدودیت موجودی نیروی انسانی
محدودیت حداقل تقاضای محصول ۱
محدودیت حداقل تقاضای محصول ۲
محدودیت حداقل تقاضای محصول ۳
محدودیت نسبت تولید محصولات

محدودیتهای غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم در محدودیتهای حداقل تقاضا لحاظ شده است.

ـ تاجری این اختیار را دارد که پولش را در دو طرح سرمایه‌گذاری کند. طرح A ضمانت می‌کند که بعد از سرمایه‌گذاری هر واحد پول قراردادی به اندازه ۷۰ درصد واحد پول قراردادی در یک سال عایدی به بار آورد، در صورتی که طرح B عایدی ۲ واحد پول قراردادی را برای هر واحد تضمین می‌نماید. ناگفته نماند در طرح B سرمایه‌گذاری پس از دو سال عایدی خواهد داشت، به منظور ماکزیمم کردن درآمد در پایان سال سوم مبلغ ۱۰۰۰۰۰ واحد پول قراردادی را چگونه باید سرمایه‌گذاری نمود؟ مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.
حل. ابتدا به تشریح شماتیکی مسئله می‌پردازیم.

سرمایه‌گذاری روی
طرح A طرح B
پس از یک سال ۷۰ درصد سود می‌دهد به عبارت دیگر اصل سرمایه پس از یک سال، ۷/۱ برابر می‌شود. پس از دو سال ۲۰۰ درصد سود می‌دهد. به عبارت دیگر اصل سرمایه‌گذاری انجام شده پس از دو سال، ۳ برابر می‌گردد.

ما به هر میزان که بخواهیم، با توجه به سرمایه موجود در ابتدای هر سال، بر روی دو طرح A و B سرمایه‌گذاری می‌کنیم. سرمایه موجود در ابتدای سال اول ۱۰۰۰۰۰ واحد پول است که تماماً بر روی دو طرح سرمایه‌گذاری می‌گردد اما سرمایه موجود در ابتدای سال دوم، اصل سرمایه و سود حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح A در ابتدای سال اول خواهد بود. «توجه داشته باشید که سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح B، هنوز درگیر بوده و در پایان سال اول، بازگشتی ندارد.» در ابتدای سال سوم سرمایه موجود، مجموع بازگشتی حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح A در ابتدای سال دوم و بازگشتی حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح B در ابتدای سال اول می‌باشد و ;

شکل ص ۲۴

اگر Xij را میزان (مقدار) سرمایه‌گذاری انجام شده در ابتدای سال i، بر روی پروژه j (i=1, 2, 3, 😉 j=A,B بنامیم موجودی حاصله پس از سه دوره یک ساله (پایان سال ۳) با توجه به توضیحات داده شده و شکل شماتیکی آن، به خواهد رسید که هدف ما، بیشینه کردن آن است لذا مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله به شکل زیر درمی‌آید.

توجه داشته باشید که در ابتدای سال سوم سرمایه‌گذاری بر روی B به علت آن که دو ساله بازگشت سرمایه داشته و از دوره برنامه‌ریزی ما خارج می‌گردد، منطقی نمی‌باشد و لذا می‌توان متغیر X3B را از ابتدا صفر فرض کرده و از مدل فرموله شده مسئله کنار گذاشت.

(محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال اول)
(محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال دوم)
(محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال سوم)

لازم به ذکر است که در هر سال، آن چه را که داریم بر روی دو طرح (به علت آن که سودده هستند) سرمایه‌گذاری می‌کنیم به عنوان مثال در ابتدای سال دوم موجودی X1A 7/1 است که با سرمایه‌گذاری روی طرحهای A و B یعنی X2A+X2B برابری می‌کند.
از اینکه X3B در محدودیت‌ها بیان شده، بهتر است قید X3B=0 به قیود اضافه گردد.

برای یک کارگاه تولیدی شبانه‌روزی در ساعات مختلف روز تعدادی تکنسین به شرح زیر مورد نیاز است:
حداقل تکنسین مورد نظر ساعات شبانه‌روز
۴ ۶ ـ ۲
۸ ۱۰ ـ ۶
۱۰ ۱۴ ـ ۱۰
۷ ۱۸ ـ ۱۴
۱۲ ۲۲ ـ ۱۸
۴ ۲ ـ ۲۲

هر تکنسین در روز ۸ ساعت متوالی کار می‌کند. هدف پیدا کردن کمترین تعداد تکنیسین است که نیاز فوق را برآورده سازد. مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید. فرض کنید هر تکنسین در شروع یکی از دوره‌ها شروع به کار نموده و هشت ساعت متوالی کار می‌کند. (لازم به ذکر است که این مسئله به شکلهای مختلفی قابل بیان است و نمونه‌های مشابهی از آن در مسائل دیگر آمده است)
حل. طرح شماتیک مسئله به صورت ذیل است:
در شکل رسم شده دقت داشته باشید که آخرین دوره زمانی روی محور طولها به صورت دو ساعت می‌باشد و نه چهار ساعت.

شکل ص ۲۶

از آنجائی که هر تکنسین در روز ۸ ساعت کار می‌کند، بنابراین در دو شیفت متوالی برابر شکل فوق، حضور خواهد داشت لذا کافی است در هر شیفت، جمع افرادی را که در آن شیفت و در شیفت قبل شروع به کار کرده‌اند با نیاز آن شیفت مقایسه نمود.
مدل این مسئله به شکل ساده زیر درمی‌آید:
متغیرهای تصمیم‌گیری را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
X1= تعداد تکنسینی که از ساعت ۲ شروع به کار می کنند.
X2= تعداد تکنسینی که از ساعت ۶ شروع به کار می‌کنند.
X3= تعداد تکنسینی که از ساعت ۱۰ شروع به کار می‌کنند.
X4= تعداد تکنسینی که از ساعت ۱۴ شروع به کار می‌کنند.
X5= تعداد تکنسینی که از ساعت ۱۸ شروع به کار می‌کنند.
X6= تعداد تکنسینی که از ساعت ۲۲ شروع به کار می‌کنند.

(عدد صحیح)

ـ یک شرکت راه‌سازی اقدام به ترتیب راننده جهت ماشینهای غلتک می‌نماید. هر راننده تربیت شده جهت تربیت ۱۰ نفر کارآموز جدید به کار گرفته می‌شود. برنامه‌ کارآموزی یک ماه به طول می‌انجامد. این شرکت از تجارب گذشته خود دریافته است که از ۱۰ نفر کارآموز که استخدام می‌شوند فقط ۷ نفر برنامه را با موفقیت به پایان می‌رسانند. (کارآموزان ناموفق در پایان اولین ماه استخدامشان اخراج خواهند شد.) این شرکت راننده‌های تربیت شده را علاوه بر مربی شدن برای کارآموزان جدید، برای رانندگی این ماشینها نیز نیاز دارد. نیاز شرکت در ماههای آینده برای رانندگی به صورت زیر است:

خرداد اردیبهشت فروردین ماه
۲۰۰ ۱۵۰ ۱۰۰ راننده مورد نیاز

علاوه بر این، این شرکت احتیاج به ۲۵۰ راننده تربیت شده در ماه تیر دارد. این شرکت دارای ۳۰ راننده در اول فروردین است. حقوق ماهیانه افراد به ترتیب زیر است: هر کارآموز ۴۰۰۰ تومان، هر راننده تربیت شده (راننده یا مربی) ۱۰۰۰۰ تومان، هر راننده تربیت شده بیکار ۶۰۰۰ تومان (شرکت بر اساس ضوابط قانون کار، نمی‌تواند آنها را به علت عدم نیاز اخراج کند.)
یک مدل برنامه‌ریزی خطی آنچنان ارائه دهید که ضمن برآوردن نیاز شرکت، هزینه استخدام و تربیت راننده این شرکت را به حداقل ممکن برساند. (راهنمایی: از رابطه تعادلی زیر استفاده کنید:
تعدادی که رانندگی می‌کنند + تعدادی که تعلیم می‌دهند
=

حل.
در اینجا فرض شده است که به ازای هر مربی، ۱۰ کارآموز وجود دارد. همچنین با توجه به اطلاعات داده شده در مسئله، اخراج رانندگان نیز در نظر گرفته نمی‌شود. جهت تشریح مسئله و تعریف متغیرهای تصمیم‌گیری به شکل شماتیکی ذیل توجه کنید:

شکل ص ۲۹

در ابتدای هر دوره موجودی رانندگان در اختیار، به سه وظیفه رانندگی، مربیگری و یا بیکار بودن تقسیم‌ می‌شوند و در انتهای هر دوره ۷۰ درصد کارآموزان به موجودی اول دوره بعد اضافه می‌گردند که بالطبع موجودی اول دوره بعد را تشکیل می‌دهند. بنابراین از رابطه تعادلی در هر مرحله، برای تعریف محدودیتها استفاده خواهیم کرد لذا خواهیم داشت:
متغیر تصمیم‌گیری:
تعداد راننده تربیت شده که به کار مربیگری در ماه i می‌پردازد = Xi1 برای (i=1, 2, 3)
تعداد راننده تربیت شده بیکار در ماه (i=1, 2, 3) Xi2=i

تابع هدف
(عدد ثابت) =Min. z
و یا
(عدد ثابت) =Min. z

در تابع هدف مقدار عدد ثابت، دستمزد پرداختی به رانندگانی است که به فعالیت رانندگی اشتغال دارند.
این میزان برای ۴ ماهه فروردین تا تیرماه برابر ۷۰۰۰۰۰۰= (۲۵۰+۲۰۰+۱۵۰+۱۰۰۰) ۱۰۰۰۰ است. محدودیتهای مسئله چنین می‌باشند:
محدودیت تعادل در فروردین ماه

محدودیت تعادل در اردیبهشت ماه
محدودیت تعادل در خرداد ماه
محدودیت تعادل در تیرماه
و یا می‌توانیم بنویسیم:

نهایتاً متغیرهای تصمیم‌گیری، غیرمنفی و عدد صحیح می‌باشند:
(عدد صحیح)

ـ یک کارگاه راه‌سازی موقتی که دارای یک برنامه ۴ هفته‌ای است با ۲۰ کارگر ماهر شروع به کار می‌نماید. در پایان چهار هفته نیز می‌خواهد همه کارگران را اخراج نماید. می‌خواهیم یک برنامه استخدام، اخراج، آموزش و اشتغال به کار اصلی تحت شرایط زیر آنچنان ارائه دهیم که هزینه کارگاه در رابطه با این کارگران حداقل باشد.
۱ هر کارگر ماهر اگر در عرض هفته به کار اصلی مشغول یا بیکار باشد ۱۵۰۰ تومان در هفته حقوق می‌گیرد.
۲ هر کارگر ماهر که به کار آموزش در هفته بپردازد ۲۰۰۰ تومان در هفته حقوق می‌گیرد.
۳ کارگران تازه استخدام پس از یک هفته به کارگر ماهر تبدیل می‌شوند.
۴ هر کارگر ماهر می‌تواند پنج کارگر تازه استخدام را آموزش دهد.

۵ حقوق هفتگی هر کارگر تازه استخدام ۱۰۰۰ تومان در هفته است.
۶ هزینه اخراج هر کارگر ماهر ۳۰۰۰ تومان است.
مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.

حل. همانند مسئله قبل در اینجا فرض می شود به ازای هر مربی، ۵ کارآموز وجود دارد و موضوع اخراج کارگران نیز مطرح است.
روش حل مسئله کاملاً مشابه مسئله قبل می‌باشد لذا از تشریح آن خودداری می‌گردد.
لازم به ذکر است که چون در پایان هفته چهارم تمامی کارگران اخراج خواهند شد، وجود مربی و کارآموز در هفته چهارم، بی‌مفهوم است لذا می‌توان x43 را از ابتدا صفر فرض کرده و از فرمول مسئله خارج کرد.

همچنین توجه داشته باشید که چون اطلاعات داده شده برای کارگران دارای کار اصلی و بیکار، یکسان می‌باشد، می‌توان از یک نوع متغیر تصمیم (به عنوان مثال xi1) برای هر دو به صورت ادغامی استفاده کرد.
با توجه به آنچه که گفته شد، متغیر تصمیم مسئله به شکل زیر بوده و مدل مسئله به دنبال آن می‌آید.
(i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته i‌ام به کار اصلی اشتغال دارند. =xi1
(i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته iام بیکار هستند. =xi2
(i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته i‌ام به مربیگری اشتغال دارند. =xi3
(i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته i‌ام اخراج می‌شوند. =xi4

(عدد صحیح)

ـ یک طرح تولید محصول شیمیایی می‌تواند با استفاده از دو روش مختلف و با ترکیب مواد خام R1 و R2 محصولات O1 و O2 را حاصل نماید. روش اول با ترکیب ۷ تن از R1 و ۵ تن از R2 می‌تواند۲ تن از O1 و ۶ تن از O2‌ در یک روز تولید کند. روش دوم با ترکیب ۵ تن از R1 و ۸ تن از R2 می‌تواند ۵ تن از O1 و ۴ تن از O2 در یک روز تولید کند. مقدار ۳۵۰ تن از R1 و ۴۰۰ تن از R2 جهت استفاده در این طرح موجود است. حداقل تقاضا نیز برای محصولات O1‌ و O2 به ترتیب ۱۰۰ تن و ۱۲۰ تن است. به علت اختلاف در دو روش، سود خالص روزانه حاصل از روش اول ۳۰۰۰ تومان است در حالی که سود روش دوم ۴۰۰۰ تومان در روز است.

با فرض اینکه در این طرح، تغییر از یک روش به روش دیگر به راحتی میسر باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.
حل.
ابتدا اطلاعات مسئله را در جدول ذیل خلاصه‌ می‌کنیم.

سود خالص روزانه (تومان) محصولات تولیدی مواد اولیه مصرفی
O2 O1 R2 R1
۳۰۰۰ ۶ ۲ ۵ ۷ روش اول
۴۰۰۰ ۴ ۵ ۸ ۵ روش دوم
۴۰۰ ۳۵۰ موجودی مواد اولیه مصرفی
۱۲۰ ۱۰۰ حداقل تقاضای محصولات تولیدی

حال به راحتی مشاهده می‌گردد که این مسئله به راحتی فرموله می‌شود. متغیر تصمیم به شکل ساده زیر تعریف می‌گردد:
xi: تعداد روزهایی که به روش i محصول تولید می‌گردد. i=1,2
مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله عبارت است از:

ـ یک کارگاه دارای یک ماشین مته و پنج ماشین فرز است که برای تولید یک محصول مونتاژ شده از دو قطعه ۱ و ۲ به کار می‌روند. بهره‌وری از هر ماشین برای تولید دو قطعه به صورت زیر داده شده است:

زمان تولید (قطعه/ دقیقه) قطعه
ماشین فرز ماشین مته
۴ ۳ ۱
۳ ۵ ۲

هدف آن است که تعادل کار بر روی ماشینها طوری انجام شود که هیچ ماشینی بیش از ۳۰ دقیقه از هر ماشین دیگر در روز کار ننماید. (تصور کنید که فرزکاری به طور یکنواخت بین هر پنج ماشین مربوطه تقسیم می شود.) زمان کار مفید را بین ماشینها طوری تقسیم‌بندی کنید تا تعداد کل محصولات مونتاژی تکمیل شده در ۸ ساعت کاری در روز ماکزیمم باشد. یک مدل برنامه‌ریزی خطی برای مسئله بنویسید. (راهنمای: x1 و x2 را برابر تعداد قطعات تولید شده در روز اختیار کنید و به علاوه هر قطعه باید از ماشینهای فرز و مته استفاده نماید.)
حل.
به منظور تشریح مسئله به شکل شماتیکی زیر توجه کنید:

شکل ص ۳۴

چنانچه به تعداد x1 از قطعه ۱ و به تعداد x2 از قطعه ۲ تولید کنیم (x1 و x2 متغیرهای تصمیم مسئله خواهند بود.)
در نهایت به تعداد Min {x1 , x2} محصول نهایی خواهیم داشت که هدف ما حداکثر کردن آن است. (به عنوان یک مثال عددی، چنانچه ۵۰ عدد از قطعه ۱ و ۲۰۰۰۰ عدد از قطعه ۲ تولید کنیم بدیهی است که تنها ۵۰ عدد یعنی Min (50, 20000) محصول نهایی خواهیم داشت و مابقی قطعه ۲ یعنی ۱۹۹۵۰ عدد آن، بلااستفاده خواهد ماند.) بنابراین می‌توانیم بنویسیم:
(۱)

حال اگر تعداد محصول نهایی را برابر y (متغیر تصمیم سوم) قرار دهیم، یعنی y=Min (x1 , x2) در این صورت می‌توانیم به جای تابع هدف غیرخطی بالا، چنین بنویسیم:

(۲)
مجدداً به صورت مسئله باز می‌گردیم و اطلاعات مربوط به محدودیتهای مسئله را جمع‌بندی می‌کنیم:

زمان تولید (قطعه/ دقیقه) قطعه
ماشین فرز ماشین مته
۴ ۳ ۱
۳ ۵ ۲
۵ * ۴۸۰ ۴۸۰ حداکثر زمان کار مفید ماشینها (دقیقه)

به منظور ایجاد تعادل کار بر روی ماشینها، به گونه‌ای که مسئله تشریح کرده است داریم:
(۴)
توجه داشته باشید که (۴×۱+۳×۲) زمان کار مفید ماشین مته و (۳×۱+۵×۲) زمان کار مفید هر ماشین فرز می‌باشد، لذا با تبدیل این محدودیت غیرخطی به دو محدودیت خطی خواهیم داشت:

(۵)
حال می‌توان مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله را به شکل زیر خلاصه کرد:

(۲)

(۳)

(۵)

ـ یک واحد از محصولی از چهار واحد زیر مونتاژ A به علاوه سه واحد زیر مونتاژ B تشکیل شده است. هر دو واحد زیر مونتاژ A و B از مواد اولیه‌ای تشکیل شده‌اند که از آنها به ترتیب ۱۰۰ و ۲۰۰ واحد در دسترس می‌باشد. برای ساخت این دو زیر مونتاژ، سه بخش تولید دخالت دارند که به روشهای مختلفی زیر مونتاژ را درست می‌کنند. جدول زیر میزان مواد مورد لزوم را در هر بار تولید و میزان تولید حاصل از هر زیر مونتاژ نشان می‌دهد:

خروجی هر زیر مونتاژ در هر بار تولید مواد مورد لزوم ورودی در هر بار تولید بخش تولید
B A R.M.2 R.M.1
۵ ۷ ۶ ۸ ۱
۹ ۶ ۹ ۵ ۲
۴ ۸ ۸ ۳ ۳

چنانچه هدف ماکزیمم کردن تولید محصول نهایی باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.
حل. به منظور تشریح مسئله شکل شماتیکی زیر را در نظر بگیرید.

شکل ص ۳۶

همان‌گونه که ملاحظه می‌شود، تفاوت چندانی بین این مسئله و مسئله قبلی وجود ندارد. متغیرهای تصمیم، مشابه قبل تعریف می‌شوند.
xi: تعداد مرتبه تولید توسط بخش i برای (i=1,2,3)

بدین ترتیب تعداد زیر مونتاژهای تولیدی از نوع A برابر ۷X1+6X2+8X3 می‌گردد. اما در تولید هر محصول نهایی، چهار زیرمونتاژ نوع A مصرف دارد. بنابراین حداکثر محصول نهایی که از طریق تولیدات زیرمونتاژهای A ممکن می‌گردد، (۷X1+6X2+8X3)/4 می‌باشد. با همین استدلال تعداد زیرمونتاژهای تولیدی از نوع B، برابر ۵X1+9X2+4X3 می‌گردد و حداکثر محصول نهایی که از طریق تولیدات زیرمونتاژهای از نوع B ممکن می‌شود (۵X1+9X2+4X3)/3‌است. اگر تعداد محصول نهایی را y بنامیم، با توجه به شکل زیر:
خواهد شد.

شکل ص ۳۶

بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله به شکل زیر درمی‌آید.

به طوری که:

محدودیت ماده اولیه
محدودیت ماده اولیه
محدودیت غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم‌گیری

ـ یک کارخانه اسباب‌بازی تولید کننده سه نمونه اسباب بازی (کوچک، متوسط و بزرگ) می‌باشد. کل کارگران تولید کننده این کارخانه ۴۰۰ نفر است. در زیر سود و زمان لازم برای تولید و همچنین مواد اولیه مورد لزوم را برای هر واحد از این سه نمونه ملاحظه می‌کنید:
مواد اولیه (کیلوگرم) زمان تولید (ساعت) سود (واحد مالی) اندازه
۴/۰ ۰۵/۰ ۱ کوچک
۰/۱ ۱۰/۰ ۳ متوسط
۰/۲ ۱۵/۰ ۶ بزرگ

مقدار مواد اولیه در دسترس روزانه ۲۰۰۰۰ کیلوگرم است. اگر تعداد ساعات کاری هر کارگر در روز ۶ ساعت باشد و مدیر کارخانه تصمیم داشته باشد که به علت فروش اسباب‌بازیهای نوع کوچک آنها را به اندازه مجموع دو نمونه دیگر تولید کند، به منظور ماکزیمم کردن سود، متغیرهای تصمیم را تعریف کرده و مسئله را فرموله کنید:
حل.
متغیرهای تصمیم را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
x1= تعداد تولید اسباب‌بازی نوع کوچک
x2= تعداد تولید اسباب بازی نوع متوسط
x3= تعداد تولید اسباب بازی نوع بزرگ

ـ یک کارخانه تولید لوازم خانگی با استفاده از روش فرم دادن، ۴ نوع محصول را عرضه می‌کند. تولید در ۵ کارگاه پرسکاری، مته‌کاری، مونتاژ، تکمیلی و بسته‌بندی انجام می‌پذیرد. مدیریت کارخانه مایل است تا بداند در ماه آینده از هر یک از محصولات به چه تعدادی تولید کند. در این راستا اطلاعات زیر در اختیار مدیر کارخانه قرار داده شده است:

بخش میزان تولید واحد محصول در ساعت ظرفیت موجود (ساعت)
محصول ۱ محصول ۲ محصول ۳ محصول ۴
پرس‌کاری
مته‌کاری
مونتاژ
تکمیلی
بسته‌بندی ۰۳/۰
۰۶/۰
۰۵/۰
۰۴/۰
۰۲/۰ ۱۵/۰
۱۲/۰
۱۰/۰
۲۰/۰
۰۶/۰ ۰۵/۰
۰
۰۵/۰
۰۳/۰
۰۲/۰ ۱۰/۰
۱۰/۰
۱۲/۰
۱۲/۰

۰۵/۰ ۴۰۰
۴۰۰
۵۰۰
۴۵۰
۴۰۰
قیمت فروش
هزینه تولید ۱۰
۶ ۲۵
۱۵ ۱۶
۱۱ ۲۰
۱۴
حداقل فروش
حداکثر فروش ۱۰۰۰
۶۰۰۰ ۰
۵۰۰ ۵۰۰
۳۰۰۰ ۱۰۰
۱۰۰۰

همچنین از یک نوع ورقه خاص به میزان ۲۰۰۰ متر مربع در اختیار است که در محصولات ۲ و ۴ کاربرد دارد. برای تولید هر واحد محصول ۲، ۲ متر مربع و برای تولید هر واحد محصول ۴ به میزان ۲/۱ متر مربع از این ورقه مصرف می‌شود. چنانچه هدف حداکثر کردن سود باشد، مسئله را به شکل یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید:

حل.
برای فرموله کردن این مسئله به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرض کنید که x1 عبارت از تعداد محصول تولید شده از محصول i در ماه داده شده باشد و z کل در سود (فروش منهای هزینه) باشد، مسئله عبارت از انتخاب مقادیر غیرمنفی x1، x2، x3 ، x4 جهت ماکزیمم کردن کردن است به طوری که:

(۱) محدودیتهای مربوط به ظرفیت زمانی (به عنوان مثال ماشین ساعت)
(پرس‌کاری)
(مته‌ کاری)
(مونتاژ)
(تکمیلی)
(بسته‌بندی)
(۲) محدودیت مربوط به ورقه‌های فلزی موجود:

(۳) محدودیت مربوط به حداقل تولید و حداکثر فروش:

ـ مخلوط خاصی از محصولات مختلف را برای یک پالایشگاه نفت در نظر بگیرید. فرض کنید که پالایشگاه می‌خواهد چهار نوع مشتق نفتی را در سه نوع مختلف بنزینهای C , B , A به کار ببرد. مسئله این است که نحوه اختلاط این مشتقات طوری باشد که سود حاصل ماکزیمم گردد. مقدار در دسترس و هزینه هر کدام از این چهار نوع مشتق در زیر داده شده است:
نوع مشتقات ماکزیمم تعداد در دسترس روزانه (بشکه) هزینه هر بشکه
۱
۲

۳
۴ ۱۰۰۰
۲۰۰۰
۳۰۰۰
۴۰۰۰ ۷ واحد پول
۵ واحد پول
۳ واحد پول
۱ واحد پول

برای حفظ کیفیت هر یک از انواع بنزین لازم است تا ماکزیمم و مینیمم درصد هر یک از مشتقات در هر مخلوط مشخص باشد. این مقادیر همراه با قیمت فروش در جدول ذیل داده شده است:
نوع بنزین مشخصات نوع مشتقات قیمت فروش
A حداکثر ۱۰% از مشتق ۱ ۱۰ واحد پول
حداقل ۳۰% از مشتق ۲
حداکثر ۵۰% از مشتق ۳
B حداقل ۱۰% از مشتق ۱ ۲۰ واحد پول
حداکثر ۵۰% از مشتق ۳
C حداکثر ۷۰% از مشتق ۲ ۳۰ واحد پول

فرض می‌کنیم که سود برابر است با کل فروش منهای هزینه کل این مشتقات. این مسئله را به شکل یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید به طوریکه مشخص کند از هر نوع مشتق چه مقداری در تولید هر نوع از بنزینها مورد استفاده قرار بگیرد تا سود حاصل ماکزیمم گردد.
حل.
متغیرهای تصمیم را به شکل زیر تعریف می‌کنیم.
Xij تعداد بشکه به کار رفته از مشتق نوع i جهت تولید بنزین نوع j برای
(j=A, B, C) (i=1, 2, 3, 4)
برای به دست آوردن تابع هدف، لازم است تا هزینه کل را از فروش کل کسر کنیم.
(هزینه کل ـ فروش کل= سود)
لذا خواهیم داشت:

با ساده کردن، تابع هدف به شکل زیر درمی‌آید:

محدودیتهای مربوط به حداکثر بشکه‌های در دسترس از مشتقات توسط روابط زیر تعریف می‌‌شوند:

حال به محدودیتهای مربوط به مشخصات نوع مشتقات می‌پردازیم:

نهایتاً با توجه به غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم‌گیری داریم:

ـ دو محصول با ترکیب کردن سه ماده خام بر طبق مشخصات داده شده در جدول زیر ساخته می‌شوند. مواد خام در دسترس در هر ماه ۵۰۰۰، ۶۰۰۰ و ۱۵۰۰۰ کیلوگرم به ترتیب برای مواد شماره ۱ تا ۳ می‌باشند. به فرض اینکه بدانیم قیمت هر کیلوگرم از مواد ۱ تا ۳ به ترتیب ۱۰، ۱۵ و ۲۰ دلار می‌باشد و هر کیلوگرم از محصول A، ۱۰۰ دلار و هر کیلوگرم از محصول B، ۱۵۰ دلار به

فروش می‌رسد و همچنین مخارج متفرقه محصولات ساخته شده غیر از ماده خام، بدون در نظر گرفتن ترکیب تولید برابر ۱۰ دلار برای هر کیلوگرم باشد. هدف عبارت است از تعیین مخلوطی از مواد برای به کار بردن در هر محصول و مقدار تولید در هر ماه تا اینکه ماکزیمم سود به دست آید.
الف) این مسئله را به فرم یک برنامه‌ریزی خطی فرموله هر گاه مشخصات ترکیب سه ماده به صورت زیر باشد.
۳ ۲ ۱ ماده
محصول
۹۰%
۲۰%
۱۵% A
۳۰%
۳۰%
۳۵% B
ب) فرض کنید در این مسئله مشخصات ترکیب سه ماده به صورت زیر باشد. مجدداً مسئله را به صورت یک برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید:

۳ ۲ ۱ ماده
محصول
۹۰%
۲۰%
۱۵% A
۳۰%
۳۰%
۲۵%-۴۰% B

حل. الف) متغیرهای تصمیم را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
xij: مقدار ماده i به کار برده شده در ساخت محصول j بر حسب کیلوگرم (i=1, 2, 3, j=A, B) بنابراین، تابع هدف عبارت است از:
P=
(قیمت فروش هر کیلوگرم محصول B) + (وزن محصول A بر حسب کیلوگرم) (قیمت فروش هر کیلوگرم محصول A) (وزن ماده ۱ بر حسب کیلوگرم) (هزینه ماده ۱) ـ (وزن محصول B بر حسب کیلوگرم) * (وزن ماده ۳ بر حسب کیلوگرم) (هزینه ماده ۳) ـ (وزن ماده ۲ بر حسب کیلوگرم) (هزینه ماده ۲) ـ (وزن تبدیل شده به محصول بر حسب کیلوگرم) (هزینه تبدیل ماده به محصول برای هر کیلوگرم) ـ

محدودیت مقدار ماده ۱ در محصول A
محدودیت مقدار ماده ۲ در محصول A
محدودیت مقدار ماده ۳ در محصول A
محدودیت مقدار ماده ۱ در محصول B

محدودیت مقدار ماده ۲ در محصول B
محدودیت مقدار ماده ۳ در محصول B

محدودیت مقدار در دسترس ماده ۱
محدودیت مقدار در دسترس ماده ۲
محدودیت مقدار در دسترس ماده ۳

ب) تابع هدف و تمام محدودیتها، همانگونه می‌باشند که در قسمت (الف) نوشته شده‌اند به استثنای محدودیت مربوط به مقدار ماده ۱ موجود در محصول B که به شکل زیر تغییر می‌کند:

ـ کارخانه تولید کننده‌ای دو نمونه محصول A,B توسط چهار ماشین می‌باشد. در ضمن می‌دانیم محصول A به دو روش و محصول B به چهار روش با استفاده از ترکیب مختلف این چهار نمونه ماشین می‌توانند تولید شوند در جدول زیر روشهای ممکن تولید، زمان لازم استفاده از ماشینها و سود هر واحد بر حسب روش انتخاب شده تولید، داده شده است.

سود هر واحد (دلار) زمان لازم برای تولید بر حسب ساعت روش تولید محصول
ماشین ۴ ماشین ۳ ماشین ۲ ماشین ۱
۲ ۰ ۲/۰ ۰ ۵/۰ A

۵/۲ ۰ ۲/۰ ۴/۰ ۰

۵ ۰ ۳/ ۰ ۴/۰ ۱
B
۴ ۴/۰ ۰ ۰ ۴/۰ ۲
۴ ۰ ۳/۰ ۶/۰ ۰ ۳
۳ ۴/۰ ۰ ۶/۰ ۰ ۴

۲۳ ۳۴ ۳۱ ۳۸ ظرفیت ماشینها در هفته بر حسب ساعت

در صورتی که کارخانه قراردادی برای تولید حداقل ۱۰۰ واحد از محصول A و حداقل ۸۵ واحد از محصولB در هفته بسته باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.
حل. متغیرهای تصمیم‌گیری را به صورت ذیل تعریف می‌کنیم:
Xijk= تعداد تولید محصول نوع i تولید شده به روش j توسط ماشین k به طوری که:
برای i=A j=12 و k=1,2,3,4 و برای i=B j=1,2,3,4 و k=1,2,3,4 می‌باشد.
بنابراین تابع هدف به صورت زیر می‌باشد:

محدویتها عبارتند از:
محددیت وقت ماشین اول

محدودیت وقت ماشین دوم

محدودیت وقت ماشین سوم

محدودیت وقت ماشین چهارم

محدودیت حداقل مورد نیاز محصول A در هفته

محدودیت حداقل مورد نیاز محصول B در هفته

در ضمن به دلیل عدم توان تولید بعضی محصولات توسط بعضی ماشینها محدودیتهای زیر را داریم:

ـ کارخانه‌ای سه نوع محصول B, A و C را می‌تواند تولید نماید. سود هر قطعه محصول B, A و C به ترتیب ۱۰، ۸ و ۱۵ واحد مالی می‌باشد. ۵ نمونه ماشین مختلف برای تولید این محصولات به کار گرفته می‌شوند که زمان لازم بر حسب ساعت کار برای هر محصول توسط هر نمونه ماشین و همچنین مقدار ظرفیت تولیدی هر نمونه ماشین بر حسب ساعت کار در هفته در جدول ذیل داده شده است. به منظور ماکزیمم کردن سود، مسئله را از نظرهای ذیل (به طور جداگانه) به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.
الف) هر ماشین طبق جدول بتواند هر نوع محصول را به تنهایی تولید کند. لذا ماشینهای شماره ۴ از محصول B و شماره ۲ از محصول C نمی‌توانند تولید داشته باشند و از هر کدام از محصولات به ترتیب ۱۵۰، ۱۸۰ و ۹۰ واحد نیاز داشته باشیم.