فایل ورد کامل مقاله آمار و احتمال؛ تحلیل علمی مبانی ریاضی و کاربردهای آن در علوم و پژوهش‌های نوین

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 فایل ورد کامل مقاله آمار و احتمال؛ تحلیل علمی مبانی ریاضی و کاربردهای آن در علوم و پژوهش‌های نوین دارای ۲۲ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد فایل ورد کامل مقاله آمار و احتمال؛ تحلیل علمی مبانی ریاضی و کاربردهای آن در علوم و پژوهش‌های نوین  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی فایل ورد کامل مقاله آمار و احتمال؛ تحلیل علمی مبانی ریاضی و کاربردهای آن در علوم و پژوهش‌های نوین،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن فایل ورد کامل مقاله آمار و احتمال؛ تحلیل علمی مبانی ریاضی و کاربردهای آن در علوم و پژوهش‌های نوین :

آمار و احتمال
توزیع دو جمله ای :
اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیر باشد ، آزمایش تصادفی دوجمله ای است .
۱- آزمایش ها مستقل از یکدیگر تکرار شوند
۲- آزمایش ها به تعداد دفعات معین مثلا n بار تکرار شوند
۳- آزمایش تصادفی به دو نتیجه ممکن موفقیت و شکست منجرگردد .

۴- احتمال موفقیت ها در همه آزمایش ها ثابت و برابر p باشد .
مثال ۱ : کدام یک از موارد زیر می تواند به عنوان آزمایش دوجمله ای تلقی شود ؟
الف- نمونه گیری تصادفی از ۵۰۰ زندانی برای تعیین اینکه آیا آنها قبلا در زندان بوده اند یا خیر .
ب- نمونه گیری تصادفی از ۵۰۰ زندانی برای تعیین طول مدت محکومیت آنها .

حل :
مورد « الف » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را دارد .
۱- آزمایش ها مستقل از یکدیگرند
۲- تعداد آزمایش ها ( ۵۰۰ ) ثابت است

۳- هرآزمایش دو نتیجه دارد : یا در زندان بوده یا نبوده
۴- احتمال موفقیت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همه آزمایش ها ثابت است .
مورد « ب » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را ندارد زیرا طول مدت محکومیت زندانیان متفاوت بوده و بنابراین هرآزمایش بیش از دو نتیجه دارد .

متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال
متغیر تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقیت ها دریک آزمایش تصادفی دو جمله ای تابع توزیع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقیت و x تعداد موفقیت ها در n آزمایش باشد به صورت زیر تعریف می شود :

نکته ۱ : توزیع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد .
مثال ۲ : یک آزمون چندگزینه ای دارای ۳۰ سئوال ، و هرسئوال دارای ۵ جواب ممکن است که یکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقیقا ۴ تای آنها پاسخ درست باشد ؟
حل :

امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور
۱- E ( X ) = np
۲- Var ( X ) = npq
۳-
مثال ۳ : احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد ۶ /۰ است . اگر ۱۰ مشتری وارد فروشگاهی شده باشند امید ریاضی و واریانس تعداد مشتریان خریدکرده چقدر است ؟
حل :
این موقعیت شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را داردکه درآن ۶ /۰ = p ، ۴/۰= q و ۱۰ = n ، پس :
۲۴ /۰ = ۴ /۰ * ۶ /۰ * ۱۰ = npq = Var ( x) ، ۶ = ۶ /۰ * ۱۰ = np = E ( X)
مثال ۴ : تابع مولدگشتاورهابرای کمیت تصادفی X به صورت۱۰ ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t )
به دست آمده است ضریب تغییرات متغیرتصادفی X را بیابید .
حل :
۱۰ = n ، ۸ /۰ = p ، ۲ /۰ = q 10 ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t )
۲۷ /۱= ۶ /۱ = ۲ /۰ * ۸ /۰ * ۱۰ = npq = Var (x) ،
۸ = ۸ /۰ * ۱۰ = n .p = = E ( X )

توزیع پواسن :
اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیرباشد ، آزمایش تصادفی پواسن است .
۱- احتمال رخداد بیش ازیک حادثه دریک فاصله زمانی یا مکانی بسیارکوچک تقریبا صفر باشد .
۲- احتمال رخداد یک حادثه درهرفاصله زمانی یامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.
۳- احتمال رخدادها درفواصل زمانی یا مکانی مستقل ازهم باشد .

متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال :
متغیر تصادفی X که بیانگر رخدادهای تصادفی پواسن دریک فاصله زمانی یامکانی معین است را متغیر تصادفی پواسن گویند اگر متوسط تعداد موفقیت درهرفاصله زمانی یامکانی برابر باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زیرتعریف می شود :

. . . و ۲ و ۱ و ۰ = x
نکته ۲ : توزیع احتمال پواسن دارای یک پارامتر می باشد .
مثال ۱ : به طورمتوسط درهردقیقه ۲ اتومبیل برای تحویل بنزین وارد پمپ بنزین می شوند احتمال اینکه ۲ اتومبیل در ۵ دقیقه وارد پمپ بنزین شوند ، چقدر است ؟

حل :
اتومبیل دقیقه
۲ ۱
۱۰ = ۵
نکته ۳ : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p خیلی کوچک باشد می توان از توزیع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی ۲۰ n و ۰۵ /۰ p باشد ، توزیع پواسن تقریب خوبی برای توزیع دوجمله ای و وقتی ۱۰۰ n و ۱۰ np باشد ، تقریب بسیارعالی برای آن محسوب می شود یعنی :
Np = ،

مثال ۲ : احتمال اینکه محصولی ضمن تولید معیوب شده ۲ % است . ۲۰۰ واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنیم ، احتمال اینکه حداقل یک محصول معیوب باشد چقدر است ؟
حل :
۵ > 4 = = np 02 /0 = p ، ۲۰۰ = n
۹۸۲ / ۰ = – ۱ = ( ۰ = x ) f x -1 = ( 1 x ) f x

امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور
۱- = E ( X )
۲- = Var ( X)
۳- = ( t ) M x
مثال ۳ : براساس تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی ۴ % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند . اگر امروز ۲۰۰ تلفن وصل کرده باشد ، واریانس تلفن هایی که اشتباه وصل شده است را پیدا کنید .

حل :
۸ = ۰۴ /۰ * ۲۰۰ = p ، n =
۸ = = Var ( X )

توزیع نرمال :
مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار ، توزیع نرمال است . نمودار آن به نام منحنی نرمال نامیده شده و هم شکل زنگوله است .

متغیرتصادفی X که دارای توزیع زنگوله ای شکل باشد متغیرتصادفی نرمال نامیده می شود اگر X یک متغیرتصادفی نرمال با میانگین و واریانس باشد تابع چگالی آن به صورت زیر خواهد بود :

که درآن . . . ۱۴۱۵۹ / ۳ = و . . . ۷۱۸۲۸ / ۲ = e است . وقتی که مقادیر و مشخص شده باشند منحنی نرمال دقیقا مشخص شده است . معمولا وقتی متغیرتصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین و واریانس است آن را به صورت زیر نمایش می دهیم :

نکته ۴ : توزیع احتمال نرمال دارای دو پارامتر و می باشد .
مثال ۱ : تابع فراوانی توزیع X به صورت است . میانگین و انحراف معیار این توزیع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنید .
حل :

از مقایسه تابع با تابع توزیع نرمال نتیجه می شودکه : ۴ = و ۱= و از اینجا ۷۰۷ / ۰ = از طرفی :

امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور :
۱- E ( X ) =
۲- Var ( X ) = 2
۳-
مثال ۲ : تابع مولدگشتاورها برای کمیت تصادفی X به صورت بیان شده است . ضریب تغییرات کمیت تصادفی X ، چقدر است ؟
حل :

ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه ۵۰ = و ۱۶= یا ۴ = و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با :

خواص توزیع نرمال :
۱- توزیع نرمال نسبت به خط = x دارای تقارن است .
۲- در توزیع نرمال پارامترهای مرکزی یعنی میانگین ، میانه و مد با هم برابرند ، پس :
=me= mo
۳- توزیع نرمال دارای یک نقطه ماکزیمم به ازای = x می باشد که مقدار ماکزیمم برابر با است .
۴- توزیع نرمال دارای دو نقطه عطف به ازای ± = x می باشدکه دارای عرضی برابر با است .
۵- در دو طرف میانگین ، منحنی به مجانب خود یعنی محور x ها نزدیک می گردد .

۶- با تغییر پارامتر شکل توزیع تغییرنمی کند ولی با تغییر شکل توزیع نیز تغییرمی کند.
۷- مساحت زیر منحنی نرمال و محور x ها برابر ۱ است .

۸- مساحت زیر منحنی نرمال به وسیله خط = x به دو قسمت مساوی که هریک مساوی است ، تقسیم می شود . یعنی همواره بیشتر از ۵۰ درصد از اندازه ها بیشتر ازمیانگین و ۵۰ درصد از اندازه هاکمتر ازمیانگین است .

مثال ۳ : فرض کنید توزیع عمر یخچال های تولیدی یک کارخانه با میانگین ۳۰ و واریانس ۱۵ نرمال باشد . احتمال آنکه طول عمریکی از یخچال ها که به طورتصادفی انتخاب می شود کمتراز میانگین چقدراست ؟
حل :
چون محور تقارن منحنی توزیع نرمال = x می باشد و مساحت سمت چپ آن است بنابراین .
توزیع نرمال استاندارد :
اگریک متغیرتصادفی مانند X دارای میانگین و واریانس باشد آنگاه اگرمیانگین این متغیر تصادفی را از آن کسر و برانحراف معیار آن تقسیم کنیم ، داریم :

به متغیر تصادفی حاصل که معمولا آن را با حرف Z نشان می دهیم « متغیراستانداردشده » و به این عمل استاندارد کردن می گویند . میانگین متغیر استاندارد شده صفر و واریانس آن یک می باشد و به صورت نشان می دهند .
ثابت می شودکه اگر توزیع X نرمال باشد توزیع Z هم نرمال خواهد بود و لذا تابع چگالی آن به صورت :

است ، به چنین توزیعی ، توزیع نرمال استانداردگویند .
مثال ۴ : اگر اندازه دو نفر از جامعه نرمالی ۱۰ و ۱۶ و اندازه این دو نفر برحسب متغیر استاندارد Z صفر و ۲ باشد ، میانگین و انحراف معیارکدامند ؟
حل :

نکته ۵ : تابع مولدگشتاور توزیع نرمال استاندارد به صورت زیر است :

مثال ۵ : تابع مولدگشتاورها برای متغیر تصادفی X به صورت بیان شده است.
امید ریاضی و واریانس کمیت x 3 = y را پیدا کنید .
حل :

بنابراین کمیت Y برطبق قانون نرمال با امید ریاضی ۰ و واریانس ۹ توزیع خواهد شد .
سطح زیر منحنی نرمال :
برای محاسبه احتمال اینکه متغیر تصادفی X کمیتی بین x1 تا x2 را اختیارکند ، همان طور که دربحث توزیع های پیوسته گفته شد ، عبارت است از :

و در خصوص توزیع نرمال داریم :

محاسبه انتگرال فوق ، عملی مشکل و وقت گیر است این مشکل به وسیله استانداردکردن داده های آماری حل می شود .