فایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 فایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی دارای ۳۰ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد فایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی فایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن فایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی :

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی
۱۱ اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی
دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به ۳۶۰ قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است.

در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال۱-۱-۱- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟
جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:
اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.
مثال ۲-۱-۱ کمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟
حل: اگر و باشد آنگاه

۲- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (۱,۰) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.
دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

۳- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:
(۱) عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(۲) اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا کمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.
(۳) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.
توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.
مثال۴-۱-۱- همه اعداد را که متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.
حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل ۳). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.
یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت که در آن به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.
قضیه۱-۱ توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه ۲-۱ توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.
برهان قضایای ۱-۱ و ۱-۲ را با استفاده از نمودارهای سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت، و نیز به کمک دایره مثلثاتی می‌توان بطور عادی اثبات کرد. برای اعداد حقیقی فقط یک نقطه PX روی دایره مثلثاتی متناظر است از اینرو این اعداد دارای سینوس‌ها و کسینوس‌های یکسانی هستند. در همان حال هیچ عدد مثبت کوچکتر از نمی‌تواند دوره تناوب توابع باشد. در حقیقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اینرو به عدد T نقطه Pt با مختصات (۱,۰) متناظر بوده و در نتیجه عدد T دارای شکل خواهد بود؛ و بدلیل مثبت بودن آن را داریم. بطریق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه بوده و به عدد نقطه با مختصات (۰۱) متناظر می‌شود. از اینرو یا یعنی را خواهیم داشت.

برای اثبات قضیه ۲-۱ به این نکته توجه می‌کنیم که نقاط به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد نیمدور از محیط دایره مثلثاتی را نشان می‌دهد) بنابراین مختصات نقاط pt+ و pt از نظر قدر مطلق برابر بوده و دارای علائم مختلف خواهند بود. یعنی خواهیم داشت.

بنابراین دوره تناوب tan t و cot t محسوب می‌شود.
مثال ۱-۳-۱: دوره تناوب بنیادی تابع f(t)= cos t +sin t را بیابید.
حل: بدلیل رابطه تابع / متناوب است:
هیچ عدد مثبت T کوچکتر از بدلیل

دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمی‌شود. در حقیقت اعداد و مخالف صفر بوده و علائم مختلفی دارند و اعداد و بر هم منطبق بوده و از اینرو داریم:

۲- زوج بودن و فرد بودن. بخاطر داشته باشید که تابع f در صورتی زوج خوانده می‌شود که به ازاء هر x حوزه تعریف آن -x نیز به آن حوزه متعلق بوده و تساوی
F(-x)=-f(x)
برقرار باشد. تابع f در صورتی فرد خوانده می‌شود که تحت همان شرایط بالا تساوی
F(-x)=-f(x)

برقرار می‌شود. یک جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت و یک جفت مثال در مورد توابع فرد را می‌توان بصورت ارائه داد. توجه داشته باشید که بسیاری از توابع فرد و نه زوج هستند. به عنوان مثال تابع
بدلیل اینکه به ازاء و است روج محسوب نمی‌شود. بطریق مشابه بدلیل تابع x فرد نیز نیست.
قضیه ۳-۱ توابع siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی، taفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.
برهان: کمان‌های APT و AP-T را در دایره مثلثاتی که دارای جها مخالف و اندازه‌های مساوی هستند در نظر می‌گیریم (شکل ۱۱) این کمانها نسبت به محور طول‌ها متقارن بودهخ و از اینرو نقاط انتهایی آنها یعنی PT(COSt, sin t), p-t(cos (-t), sin (-t) دارای طول‌های مساوی و عرض‌های متقابل هستند؛ یعنی: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتیجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از این گذشته طبق تعریف تانژانت و کتانژانت با شرط در اینجا نیز چنین داریم:
Tan(-t)=
و با شرایط (در اینجا نیز است داریم:

بدین ترتیب توابع tan t و cot t نیز فرد محسوب می‌شوند.
مثال۴-۳-۱ ثابت کنید تابع (t)= sin3 2t cos4t +tan 5t فرد است.
اثبات. توجه دارید که به ازاء هر t از حوزه تعریف تابع ( یعنی با شرط .چنین داریم:

۳- یکنواختی. تابع f که دربازه x تعریف شده در صورتی در این بازه افزایشی صعودی خوانده می‌شود که به ازاء هرگونه اعدادی مانند با شرط نامساوی برقرار باشد؛ و اگر بین این مقادیر تابع نامساوی ضعیف، یعنی برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزایشی خوانده می‌شود. تعریف باتع کاهشی و تابع ناکاهشی نیز بطریق مشابه قابل ارائه است. ویژگیهای افزایشی یا کاهشی بودن یک تابع یکنوای آن تابع نیز نامیده می‌شود. بازه‌ای که در آن تابعی افزایش یا کاهش پیدا می‌کند بازه یکنوایی آن تابع خوانده می‌شود.

یکنوایی توابع sin t و cos t را مورد بررسی قرار می‌دهیم. بر روی دایره مثلثاتی و در جهت مخالف حرکت عقربه‌های ساعت (یعنی در جهت مثبت) نقطه pt با حرکت از نقطه A=P0 به سوی نقطه (۰,۱) نمو پیدا کرده و به سمت چپ تغییر مکان می‌دهد.
یعنی با افزایش T عرض نقطه نیز افزایش می‌یاید، در حالیکه طول آن کاهش می‌یابد. عوض PT مساوی SIN T از ۰ تا ۱ افزایش می‌یابد و تابع cos t نیز از ۱ تا ۰ کاهش پیدا می‌کند.
قضیه ۴-۱ در بازه تابع sin t از ۰ تا ۱ افزایش می‌یابد، در حالیکه تابع cos t از ۱ تا ۰ کاهش پیدا می‌کند. در بازه تابع sin t از ۱ تا ۰ و تابع cos t از ۰ تا -۱ کاهش می‌یابد. در بازه تابع sin t از ۰ تا -۱ کاهش و تابع cos t از -۱ تا ۰ افزایش پیدا می‌کنند. در بازه تابع sin t از -۱ تا ۰ و تابع cos t از ۰ تا ۱ افزایش می‌یابد.

برهان: استدلال این قضیه بصورت نموداری ارائه شده است. در این اشکل نقاط در صدق می‌کنند.
قضیه۵-۱ تابع tan t در بازه افزایش و تابع cot t در بازه کاهش می‌یابد.
برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار می‌دهیم. نشان می‌دهیم که به ازاء هرگونه اعدادی بصورت t1 و t2 که در صدق می‌کند نامساوی برقرار است. سه حالت مورد ملاحظه قرار می‌دهیم: آنگاه براساس قضیه ۱۴ چنین داریم:

از اینجا نتیجه می‌شود. بنابراین خواهد بود. . در این حالت و . بوده و از اینرو
خواهد بود. طبق قضیه ۱۴ داریم:

بنابراین یعنی حاصل می‌شود. اثبات حکم مربوط به cot t نیز بطریق مشابه انجام می‌گیرد.
مثال ۵-۳-۱ ثابت کنید توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه کاهش می‌یابند.
برهان: اگر طبق باشد آنگاه بر اساس قضیه ۱۴ خواهد بود. توجه داریم که نقاطی از محیط دایره مثلثاتی متناظر به اعداد sin t1, sin t2, cos t1, cos t2 در ناحیه اول قرار دارند. دلیل امر این است که این اعداد در بازه بسته قرار داشته و است. بنابراین می‌توان مجدداً قضیه ۱۴ را بکار گرفت که به موجب آن به ازاء هر اعدادی مانند و با شرط نامساوی‌های زیر متقاعد می‌شوند:

یعنی sin(cos t) و cos(sin t) در بازه توابعی کاهشی هستند.
۴- رابطه بین توابع مثلثاتی یک شناسه (متغیر). اگر به ازاء مقدار معینی از متغیر مثلثاتی مربوط به آن معلوم باشد تحت شرایط معینی می‌توان مقادیر دیگر توابع مثلثاتی آن متغیر را بدست آورد. با تقسیم طرفین این اتحاد بر cos2 t (با شرط ) چنین بدست می‌آید:
(۱۱۰)

در این رابطه است. با استفاده از این اتحاد می‌توان مقدار tan t را محاسبه کرد با این شرط که مقدار cos t را نیز می‌توان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه کرد.
۴-۱ حل توابع مثلثاتی ساده. توابع مثلثاثی معکوس.
۱ حل معادله ARE SINE. SIN T= M.
برای حل معادلاتی به شکل SIN T=M لازم است که همه اعداد حقیقی مانند T را طوری بیاییم که عرض نقطه pt متناظر به آنها برابر m باشد. برای انجام این کار خط مستقیم y=m را رسم کرده و نقاط تلاقی آن را با دایره مثلثاتی بدست می‌آوریم.

معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی
۱-۳ کلیات
برای حل معادلات مثلثاتی روش کلی وجود ندارد و در هر مورد خاص تبدیلات و فرمول‌های معینی باید بکار گرفته شود.
مثال ۱-۱-۳ معادله زیر را حل کنید:
Siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی+۷cosx+7=0

در نتیجه معادله زیر حاصل می‌شود:

این معادله با و در نتیجه با هم ارز است. با این چون فرمول‌های جایگذاری عمومی فقط به ازاء xهایی که را تعریف‌پذیر می‌سازند یعنی فقط به ازاء ، کاربرد پذیراند از اینرو استدلال فوق نادرست است.
۲-۳ روش‌های اصلی در حل معادلات مثلثاتی
۱ حل معادلات مثلثاتی از طریق تحویل آنها به معادلات جبری، این روش وسیعاً مورد استفاده قرار می‌گیرد و در آن معادله اصلی به معادله‌ای به شکل
(۳۴)
تحویل می‌یابد. در این معادله f(x) یک چند جمله‌ای و f(t) یک تابع مثلثاتی است.
اگر x1, x2, ….,xm ریشه‌های چند جمله‌ای F یعنی اگر
F=(X1)=0, F(X2)=0,…,F(XM)=0
باشد آنگاه معادله تبدیل یافته (۳۴) به m معادله ساده تجزیه می‌شود:

مثال۱-۲-۳ معادله زیر را حل کنید:
Cos 2t- 5sin t-3=0
حل، طبق فرمول (۲۳۹) چنین داریم:
۱-۲ sin2 t-5sin-3=0
یا ۲ sin2t + 5sint +2=0 با منظور کردن x=sint معادله اصلی شکل جبری زیر را اختیار می‌کند: ۲×۲+۵x+2=0
با حل این معادله x1=-1/2,x2=-2 وصول می‌یابیم. همه تبدیلات انجام گرفته وارون پذیر بوده و بنابراین معادله اصلی به دو معادله ساده بصورت زیر تجزیه می‌شود:
و
معادله دوم به دلیل فاقد جواب بوده و از اینرو sin t=-1/2 را یعنی:

را اختیار می‌کنیم
۳-۳-۳-. حل معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی چند مجهولی.
وجود دومجهول و یا بشتر در معادلات و دستگا‌ه‌های معادلات مثلثاتی مشکلات معینی به همراه دارد. جواب یک چنین معادله یا دستگاه بصورت مجموع‌ای از مقادیر متغیرها تعریف می‌شود و از این مقادیر معادله یا هر یک از معادلات دستگاه را به یک تساوی عددی تبدیل می‌کنند. در حل معادله یا دستگاه معینی باید همه چنین مجموعه‌ها یافته شوند.

بنابراین در حل اینگونه مسائل اگر جواب هر یک از مجهولات دیگر بیان کرده و از این طریق به حذف آن از دستگاه مبادرت کنیم. روش دیگر در حل دستگاههای معادلات مثلثاتی عبارت از تحویل آن به دستگاه معادلات چیزی است که در آن تعدادی توابع مثلثاتی به عنوان مجهولات جدید شرکت می‌کنند. همچون معادلات مثلثاتی یک مجهولی، در مورد دستگاه‌ها نیز می‌توانیم تبدیلات همانندی برای تجزیه یک یا چند معادله دستگاه به معادلات ساده‌ای از نوع۱- sin (x+2y)= tan (x-y)= و غیره انجام می‌دهیم.
مثال۱-۳-۳ دستگاه معادلات زیر را حل کنید:

حل، از معادله اول دستگاه نتیجه میشود که بوده و دو حالت در اینجا ممکن می‌گردد: اگر sin x=0 باشد آنگاه این معادله به یک اتحاد تبدیل می‌شود و اگر باشد آنگاه معادله مزبور cos y=0 را موجب می‌شود. در نتیجه دستگاه مطروحه با مجموعه دو دستگاه زیر هم ارز خواهد بود:

و

دستگاه اول فاقد جواب۰) (cos 2y+2 بوده در حالیکه دستگاه دوم با دو معادله زیر هم‌ارز است:
}
در نتیجه مجموع همه جوابهای دستگاه اصلی شامل ازواج عددی مانند (x,y) بصورت زیر خواهد بود:

۱-۴ نمودار توابع اساسی مثلثات.
قبل از هر چیز خاطرنشان می‌سازیم که نمودار تابع f با حوزه تعریف D(f) بصورت مجموعه‌ای از نقاط با مختصات (x,y) بر روی صفحه مختصاتی با شرط y=f(x) تعریف می‌شود. این تعریف همیشه باید در اثبات ویژگی‌های نمودار تابع و ملاحظه اعمال مربوط به رسم نمودارها مورد استناد قرار گیرد.
۱ ویژگی‌ها و رسم نمودار تابع f(x)=sin x.

(۱) حوزه تعریف تابع عبارت از D(f)=R و مجموعه مقادیر آن عبارت از E(f)=[-1,1] است.
(۲) تابع sin x یک تابع متناوب است. هر عددی بصورت و دوره تناوب این تابع بوده و دوره تناوب بنیادی آن محسوب می‌شود(به موضوع شماره ۱ بخش ۱۳ مراجعه کنید.) بنابراین در رسم نمودار این تابع می‌توان آن را را ابتدا در بازه بسته با طول رسم کرده و سپس این نمودار را در امتداد محورxها با دوره تناوب تکرار کنیم، دلیل امر این است که همه نقاطی به شکل:

مقادیری همسان به مقدار نقطه (x,siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی) بر روی منحنی تابع دارند.
(۳) تابع sin x یک تابع فرد بوده و از اینرو نمودار آن نسبت به مبدا متقارن خواهد بود. در حقیقت به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x, sin x) بر روی نمودار، نقطه (-x, -siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی)=(-x,sin(-x) که بوسلیه کاربرد تقارن مرکزی نسبت به نقطه (x, sin x) بدست آمده است روی نمودار مزبور واقع خواهد شد. در نتیجه برای رسم نمودار تابع در بازه کافی است که آن را در بازه رسم کرده و سپس تقارن مرکزی آن را نسبت به مبدا بنگاریم.

(۴) درباره نمودار تابع با محور xها دارای دو نقطه مشترک (۰,۰) و است. بطور کلی تساوی sin x=0 با هم ارز محسوب می‌شود.
(۵) تابع sin x در بازه افزایش و در بازه کاهش می‌یابد. این امر بدین معنی است که اگر باشد آنگاه و اگر باشد آنگاه:
sin x1 sin x2 خواهد بود. از اینرو نتیجه می‌شود که نقطه ماگزیمم تابع sin x است. حال نمودار تابع sin x را طی مراحل چندگانه رسم می‌کنیم.

۰ (x)
۰

۱

۰ Sin x

روی صفحه مختصاتی نقاطی به شکل (x, sin x) را که در آن x اعدادی از جدول فوق است مشخص کرده و سپس آنها را روی یک خط خمیده بهم وصل می‌کنیم. تقارن مرکزی این بخش از نمودار را نسبت به نقطه o (مبدا) پیدا می‌کنیم. سپس قطعه حاصله (یعنی قطعه قبلی و متقارن آن) از نمودار تابع را با دوره تناوب روی محور xها تکرار می‌کنیم. بدین ترتیب نمودار تابع sin x حاصل می‌شود. آن را منحنی سینوسی یا منحنی جیب‌نما می‌نامند.

در روش دیگر برای رسم نمودار تابع، محاسبه مقادیر منفرد تابع sin x لازم نمی‌شود. در این روش از دایره مثلثاتی استفاده می‌گردد. برای این منظور بازه را نصف می‌کنیم. توجه داشته باشید که بعد از مشخص کردن نقطه روی محور xها همه ترسیمات دیگر بوسیله خط‌کش و پرگار انجام می‌گیرد.
توجه داشته باشید که تابع siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی روی بازه‌ای به شکل: :
از ۱ تا -۱ کاهش می‌یابد. مقدار بیشینه siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی=۱ در نقاط و و مقدار کمینه sin x= -1 در نقاط بدست می‌آید.
۲- ویژگی‌ها و نمودار تابع f(x) =cos x.

نمودار تابع cos x با استفاده از اتحاد sin (x+ فرمول تحویل به بهترین روش ممکن رسم می‌شود. از این اتحاد استنباط می‌شود که نمودار تابع sin x از انتقال نمودار تابع cos x به اندازه روی محورxها به طرف چپ حاصل می‌شود. در به ازاء هر نقطه‌ای مانند x) (x, sin از نمودار تابع sin x نقطه . روی نمودار تابع cos x قرار دارد . دلیل امر رابطه زیر است: عکس این نکته نیز درست است: به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x,cosx) از نمودار تابع cos x نقطه روی منحنی تابع siفایل ورد کامل مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی؛ بررسی علمی کاربردها در ریاضیات و مهندسی قرار دارد. دلیل این موضوع، است.

۳- تابع cos x یک تابع زوج بوده و نمودار آن نسبت به محور عرض‌ها متقارن محسوب می‌شود: اگر نقطه (x,cosx) روی نمودار تابع cosx واقع باشد آنگاه نقطه نیز روی آن قرار خواهد گرفت.
۴- COS X=0 به ازاء و
۵- تابع COS X در هر بازه‌ای به شکل و از ۱ تا -۱ کاهش و در هر بازه‌ای به شکل از -۱ تا ۱ افزایش می‌یابد. به ازاء و مقدار بیشینه ۱ را اختیار می‌کند.
۲-۴ محاسبه حدود.
تئوری حدود در تبیین مفاهیم اساسی پیوستگی و دیفرانسیل‌پذیری یک تابع و یافتن مشتق‌ها و انتگرال‌ها نقش اساسی دارد. ما با مسائلی از قبیل یافتن حدود تابعی برحسب عبارات مثلثاتی در نقاط معینی مواجه می‌شویم.

تعریف. فرض می‌کنیم که تابع f(x) D تعریف شده باشد. نقطه a را طوری انتخاب می‌کنیم که هر همسایگی آن نقاط بیشماری از D(f) را شامل شود. (این نقطه را نقطه انباشتگی یا نقطه حدی مجموعه D(f) نامیده می‌شود.) آنگاه عدد b حد تابع f(x) در نقطه a نامیده می‌شود با این شرط که به ازاء هر عدد مثبت عدد مثبتی مانند ۸ وجود داشته باشد بطوریکه به ازاء هر نقطه‌ای مانند که در صادق است نامساوی برقرار باشد. حد یک تابع را بصورت زیر می‌نویسیم:

تعریف. تابع f(x) با شرط lim f(x)= f(a) در نقطه‌ای مانند پیوسته خوانده می‌شود.
قضیه ۱-۴ توابع sin x,cos x, tan x, cot