فایل ورد کامل مقاله متغیرهای تصادفی گسسته و توزیع‌های احتمال؛ بررسی علمی مبانی آماری و کاربردهای عملی

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 فایل ورد کامل مقاله متغیرهای تصادفی گسسته و توزیع‌های احتمال؛ بررسی علمی مبانی آماری و کاربردهای عملی دارای ۲۲ صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد فایل ورد کامل مقاله متغیرهای تصادفی گسسته و توزیع‌های احتمال؛ بررسی علمی مبانی آماری و کاربردهای عملی  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی فایل ورد کامل مقاله متغیرهای تصادفی گسسته و توزیع‌های احتمال؛ بررسی علمی مبانی آماری و کاربردهای عملی،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن فایل ورد کامل مقاله متغیرهای تصادفی گسسته و توزیع‌های احتمال؛ بررسی علمی مبانی آماری و کاربردهای عملی :

متغیرهای تصادفی گسسته و توزیع های احتمال

طبق علم آمار ما باید به نتایج آزمایشات مقادیر عددی اختصاص دهیم حتی هنگامی که آنها کیفی هستند .

تمرین ۱ ) هنگامی که یک شاخه از موردی را برای تشخیص تناسب ناقص بررسی می کنیم ، بنابراین ‌‌‍‌[ n , d ‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌ برآمد های ممکن از بررسی یک مورد است که مجموعه O را برای d و I را برای N در نظر می گیریم .

۱ . تعریف اساسی

متغیرهای تصادفی قانونی است که یک عدد را به هر برآمد S مربوط می سازد .
علامت اختصاری r.v یا rv اغلب برای نشان دادن متغیرهای تصادفی به کار می رود .

اصطلاحات علمی و نمادگزاری :

محمل متغیر تصادفی r مجموعه همه مقادیر ممکن است که r م یتواند فرض کند . ما اغلب مجموعه محمل را با R نشان می دهیم .

r.v گسسته :
اگر متغیر تصادفی r دارای مجموعه محمل R باشد که مجموعه متناهی یا شماراست ، آنگاه r را متغیر تصادفی گسسته می نامیم .
یک متغیر تصادفی پیوسته اگر مجموعه محمل شامل یک بازه یکپارچه روی محور اعداد باشد .

ساده ترین متغیر تصادفی فقط مقادیر ۱ , ۰ را می گیرد که متغیر تصادفی برنولی نامیده می شود . متغیر تصادفی ( rvs ) در متعاقب این سه نمونه ، گسسته rvs می باشد آنها همگی با آزمایشات برنولی مرتبط اند .

تمرین ۲ ) ۲۰ بیمار که دل درد دارند بطور تصادفی برای یک نمونه معالجه انتخاب شده اند .
تعداد بیمارهای یافت شده سه ماه بعد از معالجه X =

تمرین ۳ ) بیماران میتلا به دل درد در یک زمان مشخص بعد از معالجه ویژه معاینه می شوند تا زمانی که اولین بیمار غیر بهبود یافته پیدا شود .
تعداد بیماران معاینه شده X =

تمرین ۴ )

۲ . توزیعهای احتمال برای R.V.S گسسته :

توزیع احتمال یا تابع جرم احتمال ( pmf ) متغیر تصادفی گسسته X به وسیله
برای هر x تعریف می شود .

یک لیست از مقادیر ممکن X با احتمال وابسته به آن توزیع احتمال X را بدست می دهد . pdf برای r می تواند یک فرمول ، جدول یا شکل را بدست دهد .
خلاصه : توزیع احتمال برای یک متغیر تصادفی گسسته r شامل دو بخش است .
A ) R ، مجموعه پشتبان r
B ) برای هر عدد R y
بنابراین ، گزاره های زیر باید درست باشند . ( برای توزیع احتمال معتبر )
۱)

تمرین ۵ ) برای یک متغیر تصادفی برنولی توزیع احتمال ممکن است به صورت زیر باشد :

اگر آزمایش بررسی یک مولفه ای باشد و D = 0 و ND = 1 به روشنی یک کلاس بی عیب از توزیع احتمال برنولی وجود دارد . آنها همگی به شکل

که P = P ( 1) = P ( x = 1 )
به عبارت دیگر توزیع احتمال برنولی به طور کامل از مقادیر پارامتر P تعیین می شود .

پارامتر یک توزیع احتمال :
فرض کنید که P ( X ) به یک مقدار وابسته باشد که می تواند هر یک از مقادیر ممکن را تعیین کند ، که هر یک با مقادیر معین مختلف یک توزیع احتمال متفاوت است چنین مقادیری پارامتر توزیع نامیده می شوند . مجموعه همه توزیعها با همه پارامترهایشان یک خانواده از توزیع ها نامیده می شوند .

تمرین ۶ ) آزمایش تمرین ۲ را ملاحظه کنید . بنابراین

تعداد بیماران کشف شده از میان n = 20 مورد است . X =

به وضوح K = 0 , 1 , ………. , n است .
این آزمایش دو جمله ای نامیده می شود و x یک متغیر تصادفی دو جمله ای است . بعداً خواهیم دید که هر بیمار کشف شده با احتمال p مستقل از دیگر بیماران است .

پس توزیع احتمال x بطور کامل از پارامتر های n و p تعیین می شود .
تابع توزیع تجمعی ( cdf ) اغلب به صورت تناوبی از توصیف یک توزیع احتمال است . در عوض از لیست کردن احتمالات هر مقدار ممکن x ، لیست احتمالات تجمعی بدست می آید.

تمرین ۷ ) توزیع احتمال را ملاحظه کنید :

احتمالات تجمعی هستند .

تعریف : cdf متغیر تصادفی گسسته x بصورت زیر است :

نمودار cdf از توابع پله ای است .

تمرین ۸ ) آزمایش تمرین ۳ را ببینید . مقادیر ممکن v = 1 , 2 , ….. است . در اینگونه موارد توزیع احتمال x اغلب به صورت قراردادی به وسیله فرمولهایی توصیف می شود ( برای pmf یا cdf ) . فرض کنید که p احتمال ناقص آیتم باشد . پس طبق حالت مفروض در تمرین ۶ ، pmf به صورت زیر است
همچنین تحت فرضیات مشابه ، cdf نیز
( تمرین ۳۱۲ را برای صادق بودن آخرین تساوی ببینید )
تذکر : pmfبه سادگی از cdf نتیجه می شود

.

۲۱ . تعداد امید ( یا میانیگین عمومی ) متغیر های تصادفی گسسته .
اتصال آماری :
هنگام استفاده از آمار ، مقدار امید E ( X ) بعضی اوقات میانگین x نامیده می شود . ممکن است از علامت یا x از بحث هایمان استفاده کنیم . بنابراین E ( X ) = = x . در دستگاه آماری ، x اغلب یک پارامتر عمومی را نشان می دهد که ما می خواهیم تخمین بزنیم . تعریف دقیق x در زیر است:
تعریف : امید ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته که با E ( X ) یا x نشان داده می شود چنین است :
بعبارت دیگر تعداد امید برای متغیرهای تصادفی گسسته ، یک وزن میانگین ا ز مقادیر ممکن معتبر می تواند فرض شود ، که هر مقدار به وسیله احتمال متناظر به آن وزن دار شده است .

ریاضیات مجزا :
در محاسبات امید متغیر های گسسته در صورتی موجود است که سیگما فوق همگرا باشد یعنی در غیر اینصورت

تمرین ۹ ) برای یک متغیر تصادفی برنولی x با پارامتر p :

تفسیر امید ریاضی با مثال :
تمرین : فرض کنیم x برآمدهای یک جفت تاس باشد ( برآمدهایی که هنوز اتفاق نیفتاده اند ) پس
فرض کنید که تاس ۱۰۰ مرتبه پرتاب شود و فرض کنیم که x1 , x2 , ……. , x100 برآمد ها را نشان دهد . چرا رابطه ای میان E(X) و وجود دارد ؟ برای جواب به این سؤال فرض کنید که ۱۰۰ پرتاب داشته ایم و جدول فراوانی زیر بدست آورده است .

i fi pi = pi = p ( x = i)

۱ ۱۷ ۰۱۷ ۰۱۶۶۶
۲ ۱۶ ۰۱۶ ۰۱۶۶۶
۳ ۱۹ ۰۱۹ ۰۱۶۶۶
۴ ۱۴ ۰۱۴ ۰۱۶۶۶
۵ ۱۵ ۰۱۵ ۰۱۶۶۶
۶ ۱۹ ۰۱۹ ۰۱۶۶۶

و اکنون

بنابراین به n و برآمد های خاص وابسته است . از طرف دیگر
بنابراین E(X) بهn یا برآمدها وابست نیست .

تمرین ۱۱ ) یک کتابفروشی سه سری فتوکپی از یک کتاب با قیمت هر کدام ۶ دلار که برای فروش به قیمت ۱۲ دلار عرضه می شوند . کپی های فروخته نشده با ۲ دلار برگشت می خورند . فرض کنیم x کپی های فروخته شده و Y سود خالص خالص باشد بنابراین

اگر pmf به این صورت باشد ( برای x )

پس
و pmf برای Yبه صورت

بنابراین
قواعد تعداد امید :
قضیه ۱ ) فرض کنیم Y = h (x) . پس
قضیه ۲ ) اگر تابع h (x) خطی باشد یعنی= ax + b h (x) که a و b ثابتند . بنابراین

تمرین ۱۲ ) دستگاه تمرین ۱۱ را ملاحظه کنید . اینجا Y = 10 x – ۱۲ . ما قبلاً داشتیم که = ۲۱ E(X) . بنابراین E (Y) = 10 (2.1) – ۱۲ = ۹

۲۲ ) واریانس متغیرهای تصادفی گسسته :
تعداد واریانس متغیر ها ( یا پراکندگی ) در توزیعها . که بصورت زیر تعریف می شود
مجذور ۲ ، انحراف استاندارد x نامیده می شود . ( می توانید x یا نوشته شود ) یک فرمول کوتاه برای ۲ چنین است
تمرین ۱۳ ) فرض کنیم x برنولی با پارامتر p باشد

. چونکه
بنابراین
ویژگی هایی درباره واریانس و انحراف استاندارد :
۱ ) ۰ var ( Y )
۲ ) v ( Y ) = 0 اگر و فقط اگر متغیر تصادفی Y یک توزیع تباه شده باشد . یعنی همه جرم احتمال در یک نقطه باشد .
۳ ) var ( Y ) بزرگتر یعنی انحراف بیشتر مقادیر Y از میانگین .
۴ ) var ( Y ) در ۲ ( یکه ) اندازه گیری شده و انحراف استاندارد (Y) ( SD(Y) ) در یکه اصلی اندازه گیری شده .
تمرین ۱۲ ) برای دو متغیر تصادفی x و Y با pmf های
Var(x) و var(Y) را محاسبه کنید .

حل : اولی :
بنابراین هر دو متغیر تصادفی دارای میانگین صفر هستند اکنون
بنابرانی Y دارای واریانس بزرگتر ( و انحراف استاندارد بزرگتر ) از x است .
روش کوتاه برای محاسبه واریانس : فرض کنید Y یک متغیر تصادفی باشد . ( لازم نیست که گسسته باشد ) با pmf یاpdf ، بنابراین
اثبات :
خواص واریانس : فرض کنیم که Y یک متغیر تصادفی ( نه لزوماً گسسته ) و فرض کنید که a و b ، ثابتهای حقیقی اند. پس
اثبات : تمرین

.
از نتیجه بالا ، یک نتیجه فوری اینست که var ( b) = 0 است برای هر مقدار ثابت b این مستقیماً بدست می آید . واریانس یک اندازه گیری پراکندگی متغیر هاست . یک مقدار ثابت مثل b هیچ پراکندگی ( تغییری ) ندارد .
۳ . تابع مولد گشتاورها :
اصطلاحات : فرض کنیم که Y یک متغیر تصادفی گسسته با pdf ، PY (y) باشد . تابع مولد گشتاور ها برای Y ، MY ( t ) به وسیله
تذکر :
• تابع مولد گشتاورها از این پس با mgf نشان داده می شود . از آنالیز ریاضی این نتیجه بدست می آید که اگر mgf وجود داشته باشد ، ابزاری برای محاسبه گشتاور E ( YK) است .
• Mgf می تواند به ما در بدست آوردن توزیع احتمال کمک کند چون اگر mgf وجود داشته باشد ، یکتاست . بنابراین اگر دو متغیر تصادفی mgf مشابه داشته باشند ، دارای توزیع احتمال مشابهند !

بهر حال ، این برای تفکر از مورد mgf مانند یک ” امید ویژه ” کفایت می کند البته در صورت وجود ، مولد گشتاور ها . این در عکس به ما در محاسبه میانگین و واریانس متغیر تصادفی کمک می کند .
قضیه : فرض کنیم که Y یک متغیر تصادفی را نشان دهد (نه لزوماً گسسته) با mgf ،MY(t) پس

تذکر : در بالا متذکر می شویم که مشتقات از t گرفته شده اند .
۴ ) توزیع دوجمله ای :
تعداد زیادی از آزمایشات عبارتند از یک دنباله از آزمایشات که هر آزمایش می تواند نتیجه پیروزی یا شکست داشته باشد . ( یعنی فقط دو برآمد ممکن است برای هر آزمایش بدست آید .) اگر
I ) اگر وجود داشته باشد n آزمایش ( که n ثابت است )
II ) آزمایشات مستقلند .

III ) احتمال موفقیت که نشان داده می شود با p ، ( ۰ < p < 1 ) ثابت است از آزمایشی به آزمایشی دیگر .
پس ما این آزمایشات را یک آزمایش دوجمله ای می نامیم .
تذکر : هر آزمایش یک آزمایش برنولی است .

اصطلاحات : با یک دنباله از n آزمایش برنولی ، فرض کنیم که Y تعداد موفقیتها باشد . ( out of n ) . Y را یک متغیر تصادفی دو جمله ای می نامیم و می گوییم Y یک توزیع دوجمله ای با پارامترهای n ( تعداد آزمایشات انجام شده ) و احتمال موفقیت p .
که آخرین جمله را به این صورت خلاصه نویسی می کنیم

تمرین ۱۳) هر یک از حالات زیر آزمایش دو جمله ای را نشان می دهد . ( آیا تو فرض دوجمله ای بودن را در هر آزمایش مناسب می بینی ؟ )
۱ ) فرض کنیم که یک سکه سالم را ۱۰ بار پرتاب کنیم و Y تعداد آزمایشات در ۱۰ پرتاب باشد . در اینجا
۲ ) در یک سری آزمایشات ، ۴۰ درصد از همه رسمها به یک رفتار مشخص جواب می دهد. چهار رسم از سرزمینی رفتار فوق الذکر را دارا باشد . اگر Y تعداد رسمهایی که به رفتار جواب می دهند باشد ،

پس
۳ ) در یک شهر بزرگ آفریقا ، نرخ شیوع HIV حدوداً ۱۲ درصد است . فرض کنیم که Y تعداد مبتلایان به HIV را در یک نمونه ۵۰۰ نفری نشان دهد پس
۴ ) می دانیم که پیچهای تولید شده توسط یک کارخانه با احتمال ۰۰۰۱ معیوبند . فرض کنیم Y تعداد پیچهای معیوب را در بسته ۴۰ تایی نشان دهد . پس
تمرین۱۴ ) توضیح دهید که چرا آزمایشات ذیل آزمایشات دوجمله ای نیستند .

۱ ) من سه کارت از یک دسته معمولی می کشم و Y تعداد آنها است . بدون جایگذاری
۲ ) یک زوج تصمیم می گیرند که بچه داشته باشند تا زمانی که دختری متولد شود . Y تعداد فرزندان زوج را نشان می دهد .
۳ ) در یک نمونه ۵۰۰ نفری ، Y سن هر شخص را نشان می دهد .

۴ ) یک شیمیدان یک تست حلالیت را ۱۰ دفعه روی یک ماده مشابه انجام می دهد . هر قسمت در یک دمای ۱۰ درجه ای بیشتر از آزمایش قبلی انجام می شود . Y نشان دهنده تعداد دفعات است که ماده کاملاً حل می شود .
ما اکنون pdf یک متغیر تصادفی دوجمله ای را بدست می آوریم . برای اینکار ، به PY(y) برای هر تعداد Y نیاز داریم . یادآور می شویم که Y تعداد موفقیتها در n آزمایش برنولی است و p احتمال موفقیت در هر آزمایش است . چگونه می توان موفقیت دقیق y را بدست آورید ؟
با موفقیت = S و شکست = F .

یک برآمد ممکن است S S F S F S S F ……..S F باشد .
با استقال آزمایشات احتمال اینکه هر ترتیب خاص از y موفقیت و n-y شکست بصورت p y ( 1 – p ) 1-y است . اکنون به چند طریق می توان y موفقیت را از n آزمایش انتخاب کرد ؟ ( yn ) راه برای انجام آن وجود دارد . با استقلال آزمایشات و قاعده ضرب pdf را برای Y چنین بدست می آوریم که ، ۰ < p < 1
تمرین ۱۵) در یک کلینیک کوچک آزمایشی با ۲۰ مریض انجام شد .

فرض کنیم که Y نشان دهنده بیمارانی که به یک درمان جدید خارش پوست واکنش داده اند باشد . فیزیکدانان فرض می کنند که بیماران از یکدیگر مستقلند که p نشان دهنده احتمال واکنش نشان دادن به درمان باشد. در یک مسئله آماری ، p ممکن است یک پارامتر نامشخص قابل تخمین باشد . برای این مسئله ما فرض می کنیم که p=0.7 باشد . می خواهیم اولاً p ( Y= 15 ) و ثانیاً ۱۵ ) p ( Y ، ثانیاً ( ۱۰ Y ) p را محاسبه کنیم .

حل :
( مجبوریم ۶ دفعه از pdf دو جمله ای استفاده کنیم و نتایج را با هم جمع کنیم . بجای محاسبه بطور مستقیم ، می توان نوشت
( قائده متمم )
ما این را انجام می دهیم چونکه WMSS ضمیمه III ( صفحات ۷۵۸-۷۸۳ ) شامل جدول احتمالات دو جمله ای به شکل y ) p ( Y است برای متغیرهای p, n در حقیقت با n=20, p=0.7 طبق ضمیمه= ۰۵۸۴ ۱۴) p ( Y بنابراین

۱۵) = ۱ – ۰۵۸۴ = ۰۴۱۶ p ( Y

P ( Y < 15 ) = p ( Y 9 ) = 0.017

میانگین واریانس توزیع دو جمله ای ، فرض کنید که پس

تمرین ۱۴ ) فرض کنید که ۷۵% از مشتریان یک فروشگاه مشخص از کارت اعتباری استفاده می کنند . فرض کنید که Y نشان دهنده تعداد استفاده از کارت اعتباری را در ۱۰ خرید نشان دهد . پس و میانگین خریدها با کارت است .
چریانس نیز همچنین طبق ضمیمه III

تذکر:
۱ ) هنگامی که n=1 است pdf دو جمله ای به توزیع بونولی ساده شده است هنچنین نشان خواهیم داد که یک توزیع دوجمله ای با شکل سیگمای متغیر های تصادفی برنولی مستقل قابل تغییر است .
۲ ) فرض کنید که هر آزمایش نتیجه S یا f می تواند داشته باشد . اما نمونه برداری بدون جایگذاری از یک جمعیت N تایی است . اگر اندازه نمونه n بیشتر از ۵% جامعه باشد ، آزمایش مانند یک آزمایش دو جمله ای در نظر گرفته شود .

۵ ) توزیع فوق هندسی
یک مجموعه N تایی از اشیای مشابه داریم ( مانند افراد ، بازی پوکه ، نقشه سرزمین ، 😉 فرض کنیم که دو کلاس دو بخشی داریم . برای مثال
بازی پوکه : قرمز / آبی
افراد : آلوده ، غیر آلوده

نقشه های سرزمین : پاسخ داده به رفتار یا پاسخ نداده
ما باید مشابه با تعلق شی به یک کلاس خاص ، احتمالات را محاسبه کنیم . اگر r به کلاس تعلق داشت بگوییم ، پس N-r شی به کلاس ۲ تعلق دارد .
تذکر : این نوعی از مقدمه چینی های دو جمله ای مشابه است . بهرحال ، تفاوت با این حالت در اینست که سایز جامعه ، N ، متناهی است . ( بودن در مدل دوجمله ای مفروض است ) در این مورد ، اگر نمونه گیری بدون جایگزاری باشد ، پس احتمال موفقیت از یک آزمایش دیگر تغییر می کند . البته ، مفروضات مدل دوجمله ای از این بیشتر است .

اصطلاحات : یک مجموعه از n شی نمونه ( با تصادف و بدون جایگذاری ) از یک جامعه N تایی ( n N ) . فرض کنیم که Y دارای توزیع فوق هندسی است و می نویسیم
مجموع همه اشیاء = N
) موفقیت ) تعداد اعضای کلاس اول = r
) شکست ) تعداد اعضای کلاس دوم = ( N-r )
تعداد اعضای نمونه = n
Pdf برای r بصورت زیر است

تمرین ۱۵) یک تهیه کننده ، قطعات کشتی بیش از ۲۵ قطعه به دیگر شرکتها می فرستد . دریافتهای یک شرکت با طرح ساده زیر انجام می شود .
« نمونه گیری ۵ تایی تصادفی ، بدون جایگذاری انجام می شود . اگر هیچ قطعه معیوبی در نمونه نباشد ، همگی دریافت می شوند در غیر اینصورت همگی برگشت می خورند .»
فرض می کنیم که Y نشان دهنده تعداد قطعات معبوب در نمونه باشد . ( یعنی out of 5 ) پس
که r نشان دهنده تعداد قطعات معیوب است .

که p =نشان دهنده تناسب مناسب قطعات معیوب در بقیه است . علامت oc نشان دهنده احتمال پذیرش هنگی ( که البته تابعی از p است ) است . ملاحظه کنید جدول صفحه بعد را ( که همگی عبارات احتمالهای بالا هستند که محاسبه شده اند ) .
تذکر : نمودار oc (p) در برابر p گهگاهی یک منحنی oc نامیده می شود .
البته همچنانکه r ( یا بطور معادل p ) افزایش می یابد ، احتمال پذیرش افزایش می یابد .

پذیرش نمومه یکی از بزرگترین بخشهای فرآیند کنترل آمادگی است . بویژه ، در سایزها خیلی بزرگتر ( N = 1000 و غیره ) و اصوات توسعه یافته ریاضیات ، طرحهای نمونه بسیار سخت است برای اجتناب از قطعات معیوب تولید شده .

r p oc(p)

۰ ۰ ۱۰۰
۱ ۰۴۴ ۰۸۰
۲ ۰۰۸ ۰۶۳
۳ ۰۱۲ ۰۵۰
۴ ۰۱۶ ۰۳۸
۵ ۰۲۰ ۰۲۹
۱۰ ۰۴۰ ۰۰۶
۱۵ ۰۶۰ ۰۰۱

روابط با دوجمله ای :
طبق تذکر ابتدائی ، توزیع های دوجمله ای و فوق هندسی مشابهند . تفاوت اساسی در آزمایشات دوجمله ای ، p از آزمایشی به آزمایش دیگر تغییر نمی کند . اما در فوق هندسی تغییر می کند و قابل ملاحظه تر است اگر N کوچک باشد . اگر N بزرگ شود ، محاسبه توزیع دوجمله ای که p = و کاملاً تقریبی است به وسیله محاسبات فوق هندسی به ویژه، اگر n بیشتر از ۵% جامعه ( N ) باشد ما می توانیم متغیر تصادفی فوق هندسی را با متغیر تصادفی در جمله ای تقریب بزنیم . میانگین و واریانس توزیع های فوق مهندسی بصورت زیر است :

تذکر : اگر مجموعه p =( احتمالات S ) پس E(X) شبیه دوجمله ای است که var (x) تفاوتش با دوجمله ای در است . ضریب ، ضریب صحیح جامعه متناهی نامیده می شود .

تمرین ۱۶) ۱۲ یخچال به شکرت برگشت خورده است چونکه صدای نوسانات زیاد بوده است . فرض کنید که ۴ تا از ۱۲ تا کمپرسور معیوب دارند و کمتر خاموش می شوند . اگر ۶ مورد تشخیص داشته باشیم و x تعداد کمپرسورهای معیوب پیدا شده باشد . پیدا کنید :
P(x=3) , E(x) , var(x) , N =12 , n= 6

حل :

۶ ) دو جمله ای منفی :
اصطلاحات : تصور کن یک تجربه را که آزمایشات برنولی در آن به صورت پیوسته هستند اگر Y نشان دهنده تعداد آزمایشات تا زمانی که rth موفقیت رخ دهد ، ۱ r، پسY یک توزیع دوجمله ای منفی با پارامترهای p, r دارد ، p نشان دهنده احتمال موفقیت در هر آزمایش است ، ۰< p <1 گهگاهی این توزیع به صورت

نوشته می شود . pdf برای Y به وسیله

هنگامی که r=1 باشد x متغیر تصادفی هندسی نامیده می شود . منطق شکل گیری PY(y) در زیر آورده شده است .
اگر rth موفقیت رخ دهد در yth امین آزمایش ، پس r1 موفقیت باید در طی y1 آزمایش رخ دهد . مجموع تعداد نقاط مشابه ( در زیر فضاهای فضای s ) که این همان ضریب دوجمله ای ( ) است که شمارنده تعداد راههایی که تو مرتب می کنی r-1 موفقیت و y-r شکست را در اولین y-1 آزمایش می باشد .
احتمال هر ترتیب خاص ، با استقلال ، به وسیله pr-1 ( 1-p )y-r بدست می آید .

اکنون در yth آزمایش ما rth موفقیت را مشاهده می کنیم ( این با احتمال p رخ می دهد ).
امید و واریانس توزیع دوجمله ای منفی ( آنها می توانند با هر یک از تعریف ها یا فرمول کوتاه تابع مولد گشتاور بدست آید ) :

رابطه با دو جمله ای : متذکر می شویم که در یک آزمایش دو جمله ای ، x تعداد آزمایشات برنولی است .

تمرین ۱۹ ) بر پایه تذکر ۹ پیدا کردن احتمال اینکه از ۱۰ آزمایش ۳ موفقیت کسب کنیم همچنین متوسط تعداد آزمایشات لازم برای بدست آوردن سه موفقیت را بدست آورید .
حل : p= 0.04 , r = 3

متوسط تعداد آزمایشات لازم برای بدست آوردن سه موفقیت بصورت

۷ ) فرایند پواسن :
۷۱ . توزیع پواسن به این مدلهای توزیع تصادفی پیشامد حوادث در فضا یا یک مدت زمان است . فرض کنیم x تعداد پیشامدها در یک زمان یا یک ناحیه است . مقادیر ممکن x اعداد ۰,۱,۲,….. هستند .
تعریف : متغیر تصادفی A به توزیع پواسنی گفته می شود که اگر pmf آن به وسیله

بدست آید .
Cdf اغلب از جدول شماره ۳ در آخر متن کتاب بدست می آید .
مثالهایی برای متغیر تصادفی پواسن : ( یعنی حالاتی که یک مدل احتمال پواسن جوابگو است . )
• شمردن تعداد افراد یک جامعه که در یک قرن زیسته اند .
• شمردن تعداد مشتریان که در یک روز وارد مغازه می شوند .

• شمردن تعداد ذرات شمارش شده از یک ماده رادیو اکتیو در یک دوره زمانی .
• شمردن تعداد زمین لرزه های کالیفرنیا در یک سال مفروض .
• شمردن تعداد شکلاتها در یک کلوچه .
تمرین ۱۶ ) تعداد ماشینهای هفتگی در یک بزرگراه دارای توزیع پواسن با ۲۲ = است . در یک هفته مفروض ،احتمالات زیر چگونه است .
a) هیچ ماشینی مشاهده نشود .
b) دقیقاً یک ماشین مشاهده شود .
c) بیشتر از یک ماشین مشاهده شود .
d) حداقل یک ماشین مشاهده شود .

حل :

تقریب احتمالات برنولی :
اگر Y دوجمله ای با n خیلی بزرگ ( ۱۰۰ ) و p کوچک ( ۰۰۱ ) . بنابراین ۲۰ p، این احتمال می تواند تقریبی از یک توزیع پواسن باشد :

تمرین ۱۷ ) به واسطه نقص در یک سری از ماشینهای شرکت ، n = 10000 ماشین فراخوان شدند . فرض کنیم که p=0.0005 احتمال ناقص بودن یک ماشین باشد و فرض کنیم که Y تعداد ماشینهای ناقص باشد . ۱۰) Y)p و p(Y=0) را بیابید .
جواب : بنویسید ۱۰) p(x ~ 10) p(Y که x دارای توزیع پواسن باپارامتر =np=5 است . بنابراین از جدول پواسن و